Enunciado idiomático del inglés matemático para ∃x[P(x) ∧ ∀y(P(y) → y ≤ x)].

Question

He estado trabajando en los problemas de Velleman How to Prove libro y me encontré con el siguiente problema:

Traduzca las siguientes afirmaciones al inglés matemático idiomático:

x[P(x) y(P(y) y x)], donde P(x) significa "x es un número perfecto".

Resolví el problema en los siguientes pasos:

* x[P(x)  y(P(y)  y  x)]
* x(P(x)  y(If y is a perfect number then y is less than or equal
  to x.))
* x(P(x)  Every perfect number is less than or equal to x.)
* Every perfect number is less than or equal to some perfect number.

Pero el respuesta idiomática parece ser:

Existe un número perfecto tal que todos los demás pe sean menores o iguales que él.

Me gustaría saber si hay algún problema con mi solución. Además, me gustaría saber si existen algunas directrices generales a la hora de formar el enunciado matemático idiomático (o cualquier enunciado) a partir de conectivos lógicos.

Answer 1

El problema de tu traducción es que hay ambigüedad sobre el alcance de los cuantificadores que utilizas. En concreto, la frase expresa la afirmación de que "Existe un número perfecto, de modo que todo número perfecto es menor o igual que el primero". O como dice Git Gud, existe un número perfecto máximo.

Desgraciadamente, lo que has escrito se lee, de la forma más natural, como que expresas que la afirmación de que "Para cada número perfecto, hay un número perfecto mayor o igual que él". Estas dos no son lógicamente equivalentes. Por ejemplo, podemos demostrar tu traducción observando que todo número perfecto es menor o igual que él mismo, sin embargo esto no basta para demostrar que existe un límite superior para todos los números perfectos considerados a la vez. Para un ejemplo similar, donde es más fácil ver la falacia, en lugar de interpretar $P$ como " $n$ es un número primo". Entonces ciertamente para cada primo $n$ hay un primo $m$ (toma $m=n$ ) de modo que $n\leq m$ . Sin embargo, no se da el caso de que haya un primer $n$ de modo que cada primo sea menor o igual que $n$ ya que hay infinitos primos.

Formalmente se ha confundido una demanda de la forma $\exists \forall$ con $\forall \exists$ .

Answer 2

$\exists x [P(x) \wedge \forall y [P(y) \to y\leq x]$

Esto se lee de izquierda a derecha como: "Existe un número tal que es perfecto y para todos los números que si son perfectos se deduce que son menores o iguales que él".

En un lenguaje más natural, esto puede enunciarse así: "Existe un número perfecto que será mayor o igual que todo número perfecto", o posiblemente "Existe un número perfecto que ningún otro número perfecto es mayor que".

O parafraseando: "Existe el mayor número perfecto".

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Lea siempre la lógica proposicional de izquierda a derecha. El orden de los calificadores afecta al significado del enunciado.

Answer 3

Te has equivocado en el orden de los cuantificadores. Lo que escribiste se traduce como ser: $$ \forall y ~ [P(y) \to \exists x ~ (P(x) \land y \leq x)] $$ En su versión, este número perfecto $x$ puede depender del número perfecto $y$ que se elija. Sin embargo, en la versión original, el número perfecto $x$ debe elegirse en primer lugar (independientemente de $y$ ).

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Para ilustrar por qué importa el orden, consideremos las dos afirmaciones siguientes (en las que suponemos que nuestro universo es el conjunto de todos los números enteros): $$ \exists a ~ \forall b ~ [ a > b] \qquad\text{and}\qquad \forall b ~ \exists a ~ [ a > b] $$ La primera afirmación es falsa, ya que no existe ningún número entero mágico $a$ que es mayor que cualquier entero $b$ que elijamos (por ejemplo, falla si $b = a + 7$ ). La segunda afirmación es cierta, ya que dado cualquier número entero $b$ puedo encontrar un entero $a$ (por ejemplo $a = b + 5$ ) que sea mayor que $b$ .