No encuentro sentido a la siguiente definición de supremum de sucesión de funciones.

Question

No encuentro sentido a la siguiente definición de supremum de sucesión de funciones.

Esta definición procede de Garden of Integrals (Burk), capítulo 5 (página 99): $$\sup\left\{f_{k}(x),f_{k+1}(x),\ldots \right \}=\bigcup_{n\geq k}\left \{ x \in E: f_{n}(x)>c \right\}$$ donde todos $f$ se definen en $E$ . ¿Cómo puede el supremum sobre $f$ puede dar lugar a una unión de conjuntos que toman valores de $E$ ?

Gracias

Answer 1

El contexto: Burk enuncia el teorema:

Teorema. Si $\{f_k\}$ es una sucesión de funciones medibles de Lebesgue definidas sobre un conjunto medible $E$ con $\lim f_k=f$ puntualmente en $E$ entonces $f$ es medible por Lebesgue en $E$ .

Quiere usar esto para demostrar que si $\{f_k\}$ son mensurables, entonces "la mensurabilidad se conserva bajo muchas operaciones limitadoras", por ejemplo, que $\limsup f_k$ es medible.

Para ello, definimos $g_k(x)$ ser $$g_k(x) = \sup\{f_k(x),f_{k+1}(x),f_{k+2}(x),\ldots\}$$ porque entonces $\limsup f_k = \lim g_k$ ; si cada $g_k$ es medible, entonces $\limsup f_k$ es medible por el teorema.

Pero estoy de acuerdo en que ahí hay lío. Creo que esto fue un intento entrecortado de demostrar que $g_k$ así definida, es medible. Para comprobar que es medible, fijemos $c\in \mathbb{R}$ . Entonces $$\{x\in E\mid g_k(x)\gt c\} = \bigcup_{n\geq k}\{x\in E\mid f_n(x)\gt c\}.$$

En efecto, si $x$ está en el lado derecho, entonces existe $n\geq k$ tal que $f_n(x)\gt c$ Por lo tanto $g_k(x) = \sup\{ f_m(x)\mid m\geq k\}\geq f_n(x)\gt c$ Así que $x$ está en el lado izquierdo.

Por el contrario, si $x$ está en el lado izquierdo, entonces $\sup\{f_k(x),f_{k+1}(x),\ldots\}\gt c$ por lo que existe $n\geq k$ tal que $f_n(x)\gt c$ Por lo tanto $x$ está en el lado derecho.

Así, puesto que $\{x\in E\mid g_k(x)\gt c\}$ es una unión contable de conjuntos medibles, es medible, por lo que $g_k$ es medible.

Comentarios similares se hacen en la línea siguiente, donde Burk escribe $$h_k(x) \equiv \inf\{f_k(x),f_{k+1}(x),\ldots\} = \bigcup_{n\geq k}\{ x\in E\mid f_k(x)\lt c\}$$