Ceros simples distintos de las funciones L de Dirichlet

Question

Dado un conjunto finito de caracteres Dirichlet primitivos distintos, $\chi_1, \dots, \chi_r$ se sabe que el producto de las funciones L, $$L(s):=\prod_{i=1}^r L(s,\chi_i),$$ tiene un cero simple? Se conjetura que todos los ceros del $L(s,\chi_i)$ son distintos y simples, pero no sé qué se sabe incondicionalmente salvo en el caso de que $r\leq 2$ .

Se sabe que cada $L(s,\chi)$ tiene infinitos ceros simples (de hecho, una proporción positiva de sus ceros son simples y se encuentran en la semirrecta), lo que responde inmediatamente a la pregunta en el caso de que $r=1$ . Si $r=2$ la respuesta a mi pregunta parece venir de los trabajos de Conrey, Ghosh y Gonek (Simple zeros of the zeta function of a quadratic number field, I. Invent. Math., MR0860683). Demuestran que la función zeta de Dedekind asociada a un campo cuadrático tiene $\gg T^{6/11}$ ceros simples con parte imaginaria hasta $T$ todos ellos derivados de $\zeta(s)$ . Parece que su método puede adaptarse para considerar el producto de dos funciones L de Dirichlet cualesquiera, y esto se confirma por una afirmación de Bombieri y Perelli (Distinct zeros of L-functions. Acta Arith., MR1611193), que además escriben que $r=2$ es el límite del método Conrey-Ghosh-Gonek.

No he podido encontrar ningún trabajo que se aplique a mi pregunta en el caso de que $r\geq 3$ . El artículo de Bombieri y Perelli al que se hace referencia más arriba trata del recuento de ceros distintos de funciones L más generales, pero no me resulta obvio cómo aislar los ceros simples en su argumento.

Tampoco sé si el hecho de que sólo busque un único cero simple de $L(s)$ me ahorra nada. Es decir, no conozco técnicas que detecten la existencia de ese cero sin demostrar que hay un número infinito. No obstante, esto podría resultar útil, ya que parece totalmente posible que demostrar que $L(s)$ tiene infinitos ceros simples cuando $r\geq 3$ podría ser bastante difícil.

Answer 1

Probablemente lo haya adivinado por la falta de respuestas, pero la respuesta es que no hay esperanza de avanzar en esta cuestión con los métodos actuales.

Una medida de la complejidad de una función L es su grado, donde la función zeta de Riemann y las funciones L de Dirichlet tienen grado 1, la función L de una forma cúspide holomorfa tiene grado 2, la función L estándar de una forma automórfica GL(n) tiene grado n, etc. La definición exacta de grado es el número de $\Gamma$ -en la ecuación funcional, donde a $\Gamma(s+A)$ cuenta como dos $\Gamma$ -factores.

Hoy en día disponemos de muy pocas herramientas para hacer frente a los grados 3 y superiores. Su producto de Dirichlet L-funciones es como un grado $r$ L-función, y por lo tanto usted está atascado una vez que $r$ es mayor que 2. En particular, el hecho de que sea un producto no parece ayudar mucho.

Tampoco ayuda que sólo quieras un cero simple, a menos que tengas en mente un caso explícito particular, en cuyo caso puedes demostrarlo mediante cálculo directo.