Quiero entender qué significa realmente solución débil. Se trata de una solución que no es tan "suave" y satisface la formulación bilineal. Por lo tanto, lo que estoy tratando de entender es si satisface la ecuación original en absoluto o cómo se relaciona con ella. Digamos que construimos de alguna manera $f(x)$ que es una solución débil de $u_t=u_{xx}+u_y$ . No puedo simplemente enchufar $f$ y comprobar porque no es dos veces diferenciable en $x$ ¿Qué es entonces? ¿Puedo tratar $f_{xx}$ entonces como una segunda derivada débil y afirmar que en ese caso satisface la EDP?
Respuesta
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Consideremos una función $f \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$ . En lugar de comprobar los valores de $f$ en determinados puntos, lo que no tiene sentido para los miembros de $L^p$ en general, podemos intentar determinar $f$ mediante la integración contra funciones de prueba. Esto significa que si $\phi$ es una función suave, compactamente soportada, con integral igual a $1$ y cuyo apoyo es un barrio muy pequeño de $x_0$ entonces $$\int_{\mathbb{R}} \, f(x) \phi(x) \, dx$$ debe estar muy cerca de " $f(x_0)$ ". También en este caso, las comillas subrayan que $f(x_0)$ es en general una tontería.
Esta forma de evaluar funciones nos lleva a la teoría de las distribuciones. Muchas funciones $f$ en particular los de $L^2$ inducen una función lineal $T_f$ en el espacio de las funciones suaves con soporte compacto (o "funciones de prueba") mediante $$T_f\phi = \int_{\mathbb{R}} \, f(x) \phi(x) \, dx$$ Identificamos $f$ con $T_f$ debido al primer punto mencionado anteriormente.
El siguiente paso es considerar qué significa tomar la derivada de una función de este tipo. Decimos que $f \in L^2$ tiene una derivada débil $Df \in L^2$ si $$\int_\mathbb{R} \! Df \phi \, dx = - \int_\mathbb{R} \! f \phi' \, dx$$ para todas las funciones de prueba $\varphi$ . En otras palabras, queremos que la derivada débil sea una función $Df$ que induce una distribución $T_{Df}$ tal que $$T_{Df}\phi = -T_f\phi'$$
Se trata de una definición natural, ya que supongamos $f \in L^2$ es diferenciable en el sentido clásico. Entonces por integración por partes vemos que $$\int_\mathbb{R} \! f'(x)\phi(x) \, dx = -\int_\mathbb{R} \! f(x)\phi'(x) \, dx$$ para todos $\varphi$ para que las derivadas débiles y clásicas coincidan. Para ver que realmente estamos generalizando, te dejo que encuentres la derivada débil de la función valor absoluto en $[-1,1]$ .
Todo esto puede generalizarse en líneas similares para dar derivadas débiles de órdenes superiores y para tratar funciones definidas en dominios básicamente arbitrarios en $\mathbb{R}^n$ .
Así que básicamente lo que hemos hecho aquí es que ya no estamos evaluando funciones en un único punto, sino en "pequeños conjuntos abiertos". Al hacer esto, las funciones que no son realmente diferenciables en un subconjunto pequeño pueden convertirse en débilmente diferenciables, y esta derivada débil se define de una manera natural. Una solución débil de una EDP significa que la ecuación interpretada en términos de derivadas débiles se cumple. Por ejemplo, decir que $f$ es una solución débil de $$Df = g$$ significa que $f$ es débilmente diferenciable y que su derivada débil definida anteriormente es igual a $g$ . Por supuesto, los matemáticos no empezaron a considerar los problemas débiles a propósito, fue por necesidad. Al considerar las funciones con en $L^2$ con derivada débil en $L^2$ podemos formar un espacio de Hilbert de funciones "diferenciables" que se presta mucho mejor al análisis de operadores diferenciales parciales que los espacios típicos $C^k$ . Por cierto, una excelente referencia para todo esto es Ecuaciones Diferenciales Parciales de Rauch, en particular el capítulo 2.
