Necesita intuición de Teorema del isomorfismo

Question

Actualmente estoy tratando de entender los teoremas de isomorfismo. El problema que estoy teniendo es que estoy luchando por encontrar una manera de pensar acerca de ellos.

En Stillwell Elementos de Álgebra, he encontrado una manera de entender el primer teorema de ($\frac{G}{\ker \phi} \simeq \operatorname{Im} \phi$ para cualquier homomorphism $\phi:G\rightarrow G'$). Fue probada en términos de las funciones de conjunto (ya que no hay una correspondencia uno a uno entre los elementos de la $e \in \operatorname{Im} \phi$$\phi^{-1}(e)$). Sin embargo, la segunda y la tercera teoremas no son ni siquiera se muestra. También, mi curriculum es tomado de Fraleigh Un Primer Curso de Álgebra Abstracta. Allí, el primer teorema de isomorfismo es más que el isomorfismo entre el$\frac{G}{\ker \phi}$$\operatorname{Im}\phi$; añade que no hay un único isomorfismo $\mu: G/\ker\phi \rightarrow \phi[G]$ tal que $\phi(x) = \mu(\gamma(x))$ por cada $x \in G$. Aquí, $\gamma$ es la canónica homomorphism de la G a la a $\frac{G}{\ker\phi}$.

Yo todavía no entiendo lo de la canónica de homomorphism es ya que no está en el índice del libro. Lo que es más importante, realmente estoy teniendo un tiempo difícil solo de pensar acerca de las definiciones de los involucrados. Puedo ver una prueba, y entender el porqué de cada paso es exacta. Sin embargo, es demasiado abstracto para mí el proceso.

Esto ha sucedido una vez antes, cuando yo estaba aprendiendo a medida y la integración de la teoría. Yo no podía entender nada durante meses hasta que un día leí una definición de la integral de Lebesgue en el espacio Euclidiano, y de repente todo solo "clic"; Dentro de una semana que he podido entender, en lugar de sólo saber, el plan de estudios completo. Estoy esperando otro de esos momentos antes del examen.

Tengo el mismo problema, ahora con ciertos aspectos del álgebra abstracta. Que por lo general implican el factor de grupos y/o asignaciones. Así, tengo la sospecha de que si me "obtener" de los teoremas de isomorfismo, el resto va a conectar.

Answer 1

Supongamos $\phi:(G, \cdot) \to (G', *)$ es un surjective homomorphism, y poner $K = \ker\phi$. Las ideas principales detrás de la primera homomorphism y teorema de la canónica homomorphism $\gamma:G \to G/\ker\phi$, definido por $\gamma(a) = aK$, son:

• Los "conjuntos" de $\phi$, un.k.un., el primages de singleton conjuntos, son precisamente los (a la izquierda) cosets de $K$, porque si $a$ $b$ son elementos de $G$, luego \begin{align*} \phi(a) = \phi(b) \quad&\text{if and only if} && \phi(a^{-1} \cdot b) = e', \\ &\text{if and only if} && a^{-1} \cdot b \in K, \\ &\text{if and only if} && a^{-1} \cdot bK = K, \\ &\text{if and only if} && aK = bK. \end{align*}

• La fórmula $\mu(aK) = \phi(a)$ determina una (de un solo valor/bien definidos), la cartografía $\mu:G/K \to G'$, e $\mu$ es bijective. (Si $aK = bK$,$\mu(aK) = \phi(a) = \phi(b) = \mu(bK)$, lo $\mu$ está bien definido. Por el contrario, si $\mu(aK) = \mu(bK)$, luego de que la anterior de la cadena de la lógica de las equivalencias da $aK = bK$, es decir, $\mu$ es inyectiva. Finalmente, $\mu$ es surjective porque $\phi$ es surjective.)

• Coset multiplicación en $G/K$ se corresponde con la operación de $G'$: $$ \mu(aK) * \mu(bK) = \phi(a) * \phi(b) = \phi(a \cdot b) = \mu\bigl((a \cdot b)K\bigr). $$

Conceptualmente, puede ayudar a pensar de $\phi$ como un par de gafas de sol oscuras; cuando usted mira a $G$ a través de $\phi$, usted no puede ver los elementos individuales $a$, sólo cosets $aK$. La asignación de $\mu$ da la coset $aK$ la "etiqueta" $\phi(a)$. Es decir, $\phi$ $G$ parecerse a $G/K$, que después de reetiquetar por $\mu$ parece idéntica a $G'$ (con respecto a la estructura de grupo).

Answer 2

Si no me equivoco, la canónica homomorphism asigna un elemento a su clase de equivalencia. Mi intuición con cociente/factor de grupos es que es muy parecido a los regulares de la división. Cuando usted toma, por ejemplo, 6/3 una manera de pensar acerca de esto es que usted está viendo lo que queda cuando usted toma cada 3 que puede ser en 6 y el colapso a 1. Usted puede express 6, 3 y 3, que "se derrumba" 1 y 1. Si se hizo exactamente lo mismo con un grupo de personas a pesar de que había sólo un montón de elementos de identidad. El homomorphism en los teoremas de isomorfismo es un mapa que permite distinguir cada uno de los clúster que está colapsando por lo que cada pieza no es ambigua. Espero que ayude!