Cómo estimar el valor de $e$ .

Question

Actualmente estoy estudiando cómo estimar $e$ . Para resolver este problema utilizo los métodos que se exponen a continuación:

Método 1:

Sabemos que $e^x = 1 + \dfrac{x}{1!} + \dfrac{x}{2!}+ \cdots $

Por tanto, si consideramos un gran $n$ podemos estimar $e$ como $1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!}+ \cdots + \dfrac{1}{n!}$

Método 2:

Otra forma es que considere $I=\displaystyle\int_1^{2} \dfrac1x \,dx =\log_{e} 2$ . Ahora puedo calcular numéricamente la integral $I$ . Así que de eso estimo $e$ como $e^I = 2 \implies e= 2^\frac1I$

Creo que hay muchas otras formas de estimar el valor de $e$ . Si usted sabe por favor discutir aquí.

Answer 1

$$ e=\lim_{n \to \infty }(1+\frac{1}{n})^n=\binom{n}{0}1^n\frac{1}{n}^0+\binom{n}{1}1^{n-1}\frac{1}{n}^1+\binom{n}{2}1^{n-2}\frac{1}{n}^2+\binom{n}{3}1^{n-3}\frac{1}{n}^3+...\\=1+n\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2}\frac{1}{n^2}+\frac{n(n-1)(n-3)}{3!}\frac{1}{n^3}+...=\\1+1+\frac{n-1}{2n}+\frac{(n-1)(n-2)}{6n^2}+\frac{(n-1)(n-2)(n-2)}{24n^3}+...$$

Answer 2

$e$ es una raíz de la función

$$ f(x) = (\ln x) - 1 $$

cuya solución podemos estimar mediante el algoritmo de Newton, eligiendo un valor inicial $x_0$ y ajuste

$$ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n (2 - \ln x_n) $$

Por supuesto, para hacer esto, tenemos que ser capaces de estimar el logaritmo natural. (para el cálculo por ordenador, tengo entendido que existen métodos inteligentes para calcular logaritmos de forma eficiente, y esta iteración es uno de los principales métodos para calcular realmente $\exp(x)$ )

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Otro enfoque inspirado en los algoritmos informáticos es que

$$ e^1 = (e^{1 / 2^k})^{2^k} $$

Desde $1/2^k$ es muy pequeño, podemos utilizar otros métodos para obtener rápidamente una estimación muy buena de $e^{1/2^k}$ . Entonces elevamos al cuadrado que $k$ veces.