Cómo estimar el valor de $e$ .

Question

Actualmente estoy estudiando cómo estimar $e$ . Para resolver este problema utilizo los métodos que se exponen a continuación:

Método 1:

Sabemos que $e^x = 1 + \dfrac{x}{1!} + \dfrac{x}{2!}+ \cdots $

Por tanto, si consideramos un gran $n$ podemos estimar $e$ como $1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!}+ \cdots + \dfrac{1}{n!}$

Método 2:

Otra forma es que considere $I=\displaystyle\int_1^{2} \dfrac1x \,dx =\log_{e} 2$ . Ahora puedo calcular numéricamente la integral $I$ . Así que de eso estimo $e$ como $e^I = 2 \implies e= 2^\frac1I$

Creo que hay muchas otras formas de estimar el valor de $e$ . Si usted sabe por favor discutir aquí.

Answer 1

En $2004$ utilizando la compresión en serie, los Hermanos propusieron $$e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2n+2}{(2n+1)!}$$ que converge extremadamente rápido.

Utilizando $10$ términos, se obtiene $$e\approx \frac{69439789852104840011}{25545471085854720000}\approx 2.71828182845905$$ que tiene un error de $9 \times 10^{-22}$ mientras que, para el mismo número de términos, la expansión clásica daría $$e\approx \frac{9864101}{3628800}\approx2.71828180114638$$ que tiene un error de $2.7 \times 10^{-8}$ .

Utilizando $20$ términos para la suma da más de $50$ dígitos exactos.

En el mismo documento, Brothers también propuso $$e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3-4n^2}{(2n+1)!}$$ $$e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{9n^2+1}{(3n)!}$$ Esto último conduce a $78$ dígitos correctos después de $20$ condiciones.

Answer 2

Existe otra fórmula muy conocida:

$$e^x =\lim_{n\to \infty} (1+\frac x n)^n$$

Basta con conectar un $n$ suficientemente grande para una aproximación.

Si $n$ es una potencia de dos $n = 2^k$ se puede calcular de forma muy eficiente inicializando $y := 1+x/n$ Entonces repitiendo lo siguiente $k$ veces: $y := y\cdot y$ .

Hay otros límites:

$$ e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$$

También podrían encontrarse otras aproximaciones utilizando expansiones de fracciones continuas, por ejemplo, la identidad de Eulers:

\begin{align} e &= [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1,\dots] \\ &= 2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{6+\dotsb}}}}}}}} \end{align}

Answer 3

Puede utilizar la fracción continua $$ e = 2 + \cfrac{1}{\color{red}1+\cfrac{1}{\color{red}2+\cfrac{1}{\color{red}1 + \cfrac{1}{\color{red}1+\cfrac{1}{\color{red}4 + \cdots}}}}} $$ donde va el patrón de los números rojos $1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1\ldots$ y así sucesivamente de la forma obvia. Termina donde quieras, y cet en cierto sentido la mejor aproximación a un número racional que puedas conseguir.

Aunque no lo he investigado, es muy posible que esto sea equivalente a tu método 1.

Answer 4

¿Y si utilizamos la serie de Taylor para $e^{-1}$ ? Esto da, después de un pequeño reordenamiento : $\frac{1}{e} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ 2n}{(2n+1)!},$ que converge bastante rápido.

Answer 5

Utilizando una fracción continua de mejor convergencia a partir de Por ejemplo, Wikipedia $$e = 1 + \cfrac{2}{1+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{14+\cfrac{1}{18 + \cfrac{1}{22+\cfrac{1}{26+\cdots}}}}}}} $$ se obtiene la aproximación $$ e \approx \frac{28245729}{10391023} $$ que tiene un error de $6.16\cdot 10^{-16}.$