Intuición para la medida de Haar de una matriz aleatoria

Question

¿Cuál es una forma intuitiva de entender la medida de Haar definida para matrices aleatorias, por ejemplo? $N\times N$ ¿matrices ortogonales o unitarias?

Lo que yo entiendo por medida Haar para $U(1)$ es que puede considerarse como una medida sobre una distribución uniforme de fases en un círculo, es decir, una matriz que representa $M \in U(1)$ puede parametrizarse con un ángulo $\theta$ para que $$d\mu(M) = \frac {d\theta}{2\pi} $$

¿Cuál es una generalización correcta de esta intuición para $N>1$ ? En particular, ¿existen parametrizaciones explícitas de la medida de Haar que se asemejen a la escritura de ángulos uniformemente distribuidos?

Una posibilidad que me vino a la mente es que los vectores propios, filas y/o columnas tienen fases (generalizadas) que pueden considerarse como ángulos de dirección que son, en cierto sentido, uniformes sobre $SO(N)$ o $U(N)$ ? (Edición: parece que no sería el caso para filas y columnas).

Otra posibilidad que se me ha ocurrido es utilizar rotaciones de Givens para parametrizar una matriz ortogonal utilizando los ángulos de rotación resultantes que la acerquen a la matriz identidad. ¿Se conoce algún resultado sobre la distribución de los ángulos de Givens? Parecería plausible que se distribuyeran uniformemente, pero dado que las rotaciones de Givens suelen aplicarse de una manera determinada para conseguir la diagonalización, eso podría introducir correlaciones que dieran lugar a la no uniformidad.

(Advertencia: soy nuevo en todo esto, así que es muy posible que me equivoque al intentar siquiera conceptualizar tal pregunta).

Answer 1

Quieres pensar en la medida de Haar $d\mu(U)$ para medir la uniformidad del grupo $U(N)$ de unitario $N\times N$ matrices.

Para formar su intuición, considere $N=1$ . A continuación $U=e^{i\phi}$ con $0<\phi\leq 2\pi$ et $d\mu(U)=d\phi$ mide el perímetro del círculo unitario. Se trata de una medida uniforme, porque $d(\phi+\phi_0)=d\phi$ para cualquier desfase fijo $\phi_0$ . Se podría escribir el requisito de uniformidad de la forma $d\mu(UU_0)=d\mu(U)$ con $U_0=e^{i\phi_0}$ la matriz unitaria correspondiente al desfase $\phi_0$ .

Una vez formada su intuición para $N=1$ simplemente se generaliza a $N>1$ utilizando la misma definición de uniformidad, $d\mu(UU_0)=d\mu(U)$ para cualquier $U_0\in U(N)$ . Para matrices ortogonales (o simplécticas) se utiliza la misma definición de uniformidad, con $U_0$ restringido ahora al subgrupo ortogonal o simpléctico de $U(N).$

Para escribir explícitamente la medida de Haar $d\mu(U)$ en función de los elementos de la matriz de $U$ sólo es fácil para unos pocos valores pequeños de $N$ . (En particular, no hay relación con direcciones aleatorias de filas o columnas, como señaló Yemon Choi). Normalmente no se necesitan estas expresiones explícitas, ya que las integrales con la medida de Haar pueden evaluarse utilizando únicamente la definición de uniformidad.

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En respuesta a la pregunta de seguimiento: Si desea evaluar integrales de medida de Haar de polinomios de elementos de matriz de $U$ puede utilizar las llamadas funciones Weingarten.

http://en.wikipedia.org/wiki/Weingarten_function

Aquí tienes un programa de Mathematica para generarlas,

http://arxiv.org/abs/1109.4244

Si necesitas una expresión explícita para la medida de Haar, los pasos a seguir son los siguientes:

1) parametriza tu matriz $U$ en función de un conjunto de parámetros reales $\{x_i\}$ .

2) calcular el tensor métrico $m_{ij}$ definido por $\sum_{ij}|dU_{ij}|^2 = \sum_{ij}m_{ij}dx_i dx_j$

3) obtener la medida de Haar igualando $d\mu(U) = ($ Det $m)^{1/2}\prod_i dx_i$

Esta es la receta general. En la práctica, para muchas parametrizaciones la respuesta está en la literatura. En particular, para la medida de Haar en parametrizaciones del ángulo de Euler véase:

http://arxiv.org/abs/math-ph/0205016

http://www.cft.edu.pl/~karol/pdf/ZK94.pdf

Answer 2

Estimado Jiahao Chen, si está interesado en expresiones explícitas de la medida de Haar, puede consultar el documento http://arxiv.org/abs/1103.3408 que contiene parametrizaciones sencillas de U(N) y SU(N), así como una fórmula de la medida de Haar normalizada para N arbitrario. Este documento podría ser interesante para usted, ya que el marco proporcionado puede aplicarse directamente para calcular integrales de grupo. No es necesario conocer las funciones de Weingarten.

Answer 3

Me gusta la siguiente caracterización. Consideremos una función continua $f:G\to\mathbb{R}$ (para cualquier grupo de Lie compacto $G$ ) y el conjunto $T=\{t_g(f): g\in G\}$ de traduce de $f$ donde $t_g(f)(x)=f(gx)$ . Sea $C$ sea el cierre del casco convexo de $T$ . Se puede demostrar que $C$ contiene una única función constante, y el valor de esa función es el inegral de $f$ con respecto a la medida de Haar.

Answer 4

Véase el apéndice de este documento para comprender la medida de Haar: Procesos puntuales determinantes en el plano a partir de productos de matrices aleatorias

intuición para la matriz ortogonal aleatoria de Haar: elija un vector al azar de la esfera unitaria en ${\mathbb R}^n$ (distribución uniforme en la esfera unitaria). Es la primera columna. Ahora, para la segunda columna, elige un vector al azar de la esfera unitaria en el $n-1$ subespacio dimensional ortogonal a la primera columna. Del mismo modo, para la tercera columna, elija un vector al azar de la esfera unitaria en el $n-2$ subespacio dimensional ortogonal a las dos primeras columnas... y así sucesivamente....

Answer 5

En MatLab genero matrices distribuidas Haar de esta forma:

m = randn(m,m)% todos los elementos se distribuyen normalmente

u= qr(m) % haz la descomposición qr y lo que obtienes es la medida Haar sobre "u"

Así que la afirmación matemática es que si "m" se distribuye normalmente, entonces "u" es Haar.

La razón es bastante trivial: la distribución normal se mantiene mediante transformaciones unitarias.

Sin embargo enderezando esto empiezo a dudar de mi mismo sobre pequeños detalles - dependiendo cómo implementan el algoritmo qr la matriz u no es única, puede ser multiplicada diag(+-1 ). Neverthelss más probablemente todo debe ser correcto.