Establecer una relación entre la solución débil en $L_2(\Omega)$ y solución débil en $W^{1,\ 2}(\Omega)$ con solución clásica

Question

Tengo un problema:

Para $\Omega$ sea un dominio acotado en $\Bbb R^n$ .

Denote $L_{2,\ 0}(\Omega)=\overline{C_{0}^{\infty}(\Omega)}$ con norma en $L_2(\Omega)$ .

W $$\left\{\begin{matrix} \Delta u +u_x+au=f(x)\ \text{in}\ \Omega& \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ u\mid_{\partial \Omega}=0\ \text{on}\ \Omega & \end{matrix}\right. \tag I$$

a/ Definición de solución débil de (I) en $L_2(\Omega)$ ;

b/ Establecer una relación entre la solución débil en $L_2(\Omega)$ y solución débil en $W^{1,\ 2}(\Omega)$ con solución clásica.

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Tenemos:

$\Delta u +u_x+au=f \iff \int_{\Omega}\Delta u \cdot v \rm dx +\int_{\Omega} u_x v \rm dx +\int_{\Omega}au \cdot v \rm dx =\int_{\Omega}fv \rm dx$

Por otro lado, $$\begin{align}\int_{\Omega}\Delta u \cdot v \rm dx &=\sum_{i=1}^{n}\int_{\Omega}\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_i^2}vdx\\ &=\int_{\partial \Omega}\sum_{i=1}^{n}\dfrac{\partial u}{\partial x_i}v\cos(n,x_i)dx-\int_{\Omega}\sum_{i=1}^{n}\dfrac{\partial u }{\partial x_i}\dfrac{\partial v}{\partial x_i}dx\\ &=-\int_{\Omega}\sum_{i=1}^{n}\dfrac{\partial u }{\partial x_i}\dfrac{\partial v}{\partial x_i}dx \end{align}$$ De dónde,

$$-\int_{\Omega}\sum_{i=1}^{n}\dfrac{\partial u }{\partial x_i}\dfrac{\partial v}{\partial x_i}dx+\int_{\Omega} u_x v \rm dx +\int_{\Omega}au \cdot v \rm dx =\int_{\Omega}fv \rm dx$$

Significa que $$\boxed{\int_{\Omega}\nabla u\cdot \nabla v \rm dx-\int_{\Omega}u_xvdx-\int_{\Omega}au \cdot vdx=-\int_{\Omega}fvdx}$$

Ahora, tengo stuch aunque he intentado...

Agradeceremos cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

a) Sea la notación $u_x$ implican alguna derivada parcial, digamos, $\frac{\partial u}{\partial x_m}.$ Las tres definiciones siguientes son estándar en la $L^p$ -teoría de problemas de valor límite para EDP.

Definición 1 . Para un bvp (I), una solución fuerte de la clase $W^{2,2}$ es un elemento $u\in W^{2,2}(\Omega)$ que satisface la ecuación (I) a.e. en $\Omega$ con la condición de contorno (I) entendida en términos de trazas.

Definición 2 . Para un bvp (I), una solución débil de la clase $L^2$ es un elemento $u\in L^2(\Omega)$ que satisface la identidad integral $$ \int\limits_{\Omega}u\Delta\,v\,dx-\int\limits_{\Omega}u\frac{\partial v}{\partial x_m}\,dx+\int\limits_{\Omega}auv\,dx=\int\limits_{\Omega}fv\,dx\quad\forall\, v\in W^{2,2}(\Omega)\,\colon \;\,v|_{\partial\Omega} =0\tag{$ \ast $}$$ Observación . Si la condición de contorno fuera no homogénea, digamos, $u|_{\partial\Omega}=\varphi$ el lado izquierdo de la identidad $\,(\ast)\,$ debe contener un término adicional $$-\int\limits_{\partial\Omega}\varphi\frac{\partial v}{\partial n}\,ds $$ con una normal unitaria hacia el exterior $n$ a $\partial\Omega$ .

Definición 3 . Para un bvp (I), una definición de solución débil de la clase $L^2$ se considera correcta si
i) una solución fuerte de la clase $W^{2,2}$ será una solución débil de la clase $L^2$ ;
ii) una solución débil de la clase $L^2$ que posee la suavidad de $W^{2,2}$ será una solución sólida .

Por tanto, para la definición 2, ser correcta sólo implica que la identidad integral $\,(\ast)\,$ contiene la ecuación y la condición de contorno necesarias. Comprobar la corrección de la Definición 2 se reduce a un ejercicio no muy difícil. Además del hecho de que $C_0^{\infty}(\Omega)$ es denso en $L^2(\Omega)$ debe saber que para un dominio $\Omega$ con una frontera suficientemente suave, se cumple el siguiente teorema de extensión $$\forall\,\varphi_0\in W^{s-\frac{1}{2},2}(\partial\Omega),\;\forall\,\varphi_1\in W^{s-\frac{3}{2},2}(\partial\Omega)\;\exists\; \psi\in W^{s,2}(\Omega)\;\colon\; \psi|_{\partial\Omega}=\varphi_0,\;\frac{\partial\psi}{\partial n}\biggr|_{\partial\Omega}=\varphi_1\,, $$ donde $s>\frac{3}{2}\,$ aunque $\,s=2\,$ es suficiente aquí. Necesitarás este teorema de extensión para extraer la condición de contorno $\,u|_{\partial\Omega}=0\,$ a partir de la identidad integral $\,(\ast)\,$ .

b) Establecer una relación entre las soluciones débiles de la clase $L^2$ y las soluciones clásicas es una cuestión bastante técnica basada en el llamado técnicas de localización que no caben en este formato.