Consideremos un paseo aleatorio sobre $\{1,2,\dots,N\}$ que en el estado $i$ tiene probabilidad $p_i$ de ir a la izquierda/derecha y probabilidad $1-2p_i$ de permanecer en su lugar, por lo que la matriz de transición es \begin{align*} \Lambda=\left( \begin{array}{cccccc} 1-p_1 & p_1 & 0 &\dots\\ p_2 & 1-2p_2 & p_2 & 0 & \dots\\ 0 & p_3 & 1-2p_3 &p_3 & 0 & \dots\\ \vdots& & \\ && \dots & 0 & p_{N-2} & 1-2p_{N-2} & p_{N-2} & 0\\ && & \dots & 0 & p_{N-1} & 1-2p_{N-1} & p_{N-1}\\ && & &\dots & 0 & p_N & 1-p_N \end{array} \derecha), \ fin En este caso se pueden utilizar las ecuaciones de equilibrio detalladas \begin{align*} \pi_ip_{i,i+1}=\pi_{i+1}p_{i+1,i},\quad i=1,2,\dots,N, \end{align*} para hallar la distribución estacionaria $\pi$ y resulta que \begin{align*} \pi_i \propto \frac{p_1}{p_i},\quad i=1,\dots,N, \end{align*} donde $\propto$ significa "proporcional a".
Supongamos ahora que en los estados límite, el paseo aleatorio puede realizar saltos de tamaño dos. Entonces ya no se pueden utilizar las ecuaciones de equilibrio detalladas, ya que el paseo aleatorio no es reversible, pero ¿hay algún procedimiento inteligente para encontrar la distribución estacionaria?
La matriz de transición del nuevo paseo aleatorio es \begin{align*} \hat\Lambda=\left( \begin{array}{cccccc} 1-2p_1 & p_1 & p_1 & 0 &\dots\\ p_2 & 1-2p_2 & p_2 & 0 & \dots\\ 0 & p_2 & 1-2p_3 &p_3 & 0 & \dots\\ \vdots& & \\ && \dots & 0 & p_{N-2} & 1-2p_{N-2} & p_{N-2} & 0\\ && & \dots & 0 & p_{N-1} & 1-2p_{N-1} & p_{N-1}\\ && & \dots& 0& p_N & p_N & 1-2p_N \end{array} \derecha), \ fin y la relación entre las dos matrices de transición es \begin{align*} \hat\Lambda = \Lambda + \left( \begin{array}{cccccc} -p_1 & 0 & p_1 & 0 &\dots\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots\\ \vdots& & \\ && & \dots & 0 & 0 & 0 & 0\\ && & \dots& 0& p_N & 0 & -p_N \end{array} \right). \end{align*}
