Entradas de matrices conjugadas: fórmula generalizada

Question

Quiero una fórmula para el $i,j$ entrada del matriz adjunta $\text{adj}(A)$ . Encontré esto:

$$[\text{adj}(A)]_{ij}=\frac{1}{(n-1)!}\epsilon_{i_{1}\ldots i_{n-1}i} \epsilon_{j_{1}\ldots j_{n-1}j}a_{i_1 j_1}a_{i_2 j_2}\ldots a_{i_{n-1} j_{n-1}}$$

pero no lo entiendo.

¿Qué es $\epsilon$ ? ¿Qué significa? $a_{i_x j_y}$ ?

Fuente en español: Matriz de adjuntos . La fórmula está en esta referencia en español.

Answer 1

Buscando la referencia utilizada el $a$ son los elementos de la matriz y los épsilones son el tensor de Levi-Civita utilizando la convención de suma de Einstein. En $3 \times 3$ matriz es

$$\text{adj}(A)_{ij} = \frac{1}{2}\epsilon_{mni}\epsilon_{pqj}a_{mp}a_{nq}\tag{1}$$

Mira en tu referencia el total $3 \times 3$ matriz

Véase, por ejemplo, el primer elemento de este $\text{adj(A)}$ matriz

Veamos si la ecuación $(1)$ funciona

$$\text{adj}(A)_{11} = (1/2)\sum_{m,n,p,q}\epsilon_{mn1}\epsilon_{pq1}a_{mp}a_{nq} =$$ $$=(1/2)( \epsilon_{231}(\epsilon_{231}a_{22}a_{33}+\epsilon_{321}a_{23}a_{32}) + \epsilon_{321}(\epsilon_{231}a_{32}a_{23}+\epsilon_{321}a_{33}a_{22})) = $$

$$=(1/2)(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32} + a_{32}a_{23}-a_{33}a_{22} = a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32} \implies $$

$$\text{adj}(A)_{11} = a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}$$

Lo que es correcto mirando la matriz de arriba.