Representación fasorial de funciones de forzamiento sinusoidales

Question

Tomemos un fasor V _m < \$\theta\$ que equivale a V _m cos( \$\omega\$ t + \$\theta\$ )

Supongamos que una función de forzamiento en una red es V _m cos( \$\omega\$ t + \$\theta\$ ) +j V _m sin( \$\omega\$ t + \$\theta\$ )

Se puede escribir como V _m e j( \$\omega\$ t + \$\theta\$ ) por la relación de Euler

Simplificando, se obtiene V _m e j \$\theta\$ .e jwt

que además puede escribirse como V e j \$\omega\$ t donde V es un definido por V _m e j \$\theta\$

Mi pregunta es: ¿son ambos V y V _m < \$\theta\$ ¿Equivalente?

Mi libro implica que son iguales.

Corrígeme

2ª pregunta Cómo son los fasores Números complejos ?

Answer 1

Son equivalentes en el sentido de que representan la misma onda senoidal con amplitud \$V_m\$ fase \$\theta\$ y frecuencia \$\omega\$ (implícito a este nivel). Tenga en cuenta que, aunque a menudo se representan mediante exponenciales, las señales sinusoidales son puramente real . Por lo tanto, siempre hay que tomar la parte real de la forma exponencial, y así es como se obtiene el coseno.

El fasor le ayuda a expresar la fase como una exponencial, lo que simplifica la operación con diferentes señales y componentes reactivos.

Answer 2

Tomemos un fasor Vm<θ que equivale a Vmcos(ωt + θ)

Hay que tener en cuenta todo el contexto del análisis fasorial

Esencialmente, cuando se realiza un análisis fasorial, en el que se supone que todas las fuentes son sinusoidales de la misma frecuencia, "fingimos" que el circuito está excitado por fuentes de la forma

$$v_S(t) = V_m e^{j(\omega t + \phi)} = V_m e^{j\phi}e^{j\omega t} = \mathbf{V_s}e^{j\omega t}$$

donde el fasor

$$\mathbf{V_s} = V_m e^{j\phi}$$

es el constante compleja que multiplica el término exponencial complejo dependiente del tiempo de magnitud unitaria.

Es fácil demostrar que, en el caso de un lineal todas las tensiones y corrientes tendrán la misma dependencia temporal, pero con constantes complejas diferentes.

Así, podemos suprimir la componente variable en el tiempo y resolver los fasores de tensión y corriente, añadiendo la dependencia del tiempo al final para llegar a la solución total.

Aunque no existen fuentes físicas de esta forma la "magia" de los fasores es ésta: podemos tomar sólo la parte real de la solución total y tenemos la solución correcta para el circuito con fuentes de la forma

$$v_S(t) = V_m \cos(\omega t + \phi) = \Re(V_m e^{(j\omega t + \phi)}) =\Re(\mathbf{V_s}e^{j\omega t}) $$

En resumen, el fasor \$\mathbf{V_s}\$ es la constante compleja que multiplica \$e^{j(\omega t + \phi)}\$ y, por tanto, podemos asociado el fasor con una sinusoide real \$\cos(\omega t + \phi)\$ si al final tomamos la parte real de la solución compleja .

Esto justifica el uso de complejo números en el análisis de circuitos físicos donde todas las tensiones y corrientes son real valorado.