Compute $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac1{1+x_n}$ si $x_1>0$ y $x_{n+1} = x_n ^2 + x_n$

Question

Supongamos que $x_1\in \Re$ y que $x_{n+1} = x_n ^2 + x_n$ para $n\geq 1$ .

Suponiendo que $x_1 > 0$ encuentra

$\sum_{n=1}^{\infty} 1/(1+x_n)$ .

¿Qué puede decir de los casos en los que $x_1 < 0$ ?

Notas: Sólo un poco de ayuda con la evaluación de la relación de recurrencia inicial sería muy apreciada.

Estableciendo $T_n = x_n + 1/2$ Obtuve la recurrencia posiblemente más simple $T_{n+1} = T_n^2 + 1/4$ .

Answer 1

Sugerencia : $$\begin{align} \frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_n}&=\frac{x_n- x_{n+1}}{x_n x_{n+1}}\\ &=\frac{x_n - x_n - x_n^2}{x_n x_{n+1}}\\ &=-\frac{x_n}{x_{n+1}}\\ &=-\frac{x_n}{x_n+x_n^2}\\ &=-\frac{1}{1+x_n} \end{align}$$