Sobre la existencia de una sucesión de funciones continuas positivas

Question

¿Existe una secuencia $(f_n)$ de funciones continuas positivas sobre $\mathbb{R}$ tal que

$f_n(x) \rightarrow \infty$ sólo si $x \in \mathbb{Q}$ ?

Si $f_n(x) \rightarrow \infty$ se sustituye por $f_n(x)$ es ilimitado, entonces la respuesta es no. Esto se deduce del teorema de Baire.

Gracias, señor,

Answer 1

Véase el artículo, First Class Functions, en el American Mathematical Monthly 98 (marzo, 1991) 237-240.

EDITAR: Que $f_n(x)=n$ si $x=p/q$ con $q\le n$ , $f_n(x)=0$ si $x=(p/q)\pm n^{-4}$ con $q\le n$ y que $f_n$ sea lineal a trozos entre estos puntos. Así que $f_n$ es continua, mayoritariamente cero, pero con un pico agudo en cada racional. Claramente $f_n(x)$ llega hasta el infinito con $n$ en absoluto racional $x$ . Si $x$ es irracional y sólo tiene un número finito de aproximaciones racionales $p/q$ tal que $|x-(p/q)|\le q^{-4}$ (y esto es todo $x$ guardar un conjunto de medida cero), entonces $f_n(x)=0$ para todos $n$ suficientemente grande. Si $x$ tiene infinitas aproximaciones racionales con $|x-(p/q)|\le q^{-4}$ entonces $f_n(x)=0$ para la mayoría $n$ (los que están lejos de un $q$ que da una buena aproximación, y los $q$ se garantiza que sean pocos y distantes entre sí), pero en ocasiones es bastante grande, por lo que $f_n(x)$ no tiene límite, ni finito ni infinito.

Answer 2

Una solución explícitamente errónea es la siguiente: Elegir una biyección entre $\mathbb N$ y $\mathbb Q$ y denotamos por $\mathbb Q_n$ la imagen de $\{1,\dots,n\}$ bajo esta biyección. Elija también una secuencia $s_n(x)$ de continua continuas sobre $\mathbb R_{\geq 0}$ con límite $\lim_{n\rightarrow\infty}s_n(x)=\infty$ si $x=0$ y con límite $0$ en caso contrario y consideremos la sucesión de funciones continuas $s_n(d(x,\mathbb Q_n))$ donde $d(x,\mathbb Q_n)$ denota la distancia de $x$ al conjunto finito $\mathbb Q_n$ correspondiente al primer $n$ números racionales bajo la biyección elegida.

El límite es entonces claramente $\infty$ en racionales. Sin embargo Malik Younsi objetó correctamente que no se puede decir nada sobre el límite de los irracionales y el artículo mensual de Myerson de Myerson afirma que el límite de los irracionales no puede ser acotado para todos los irracionales.

PD: He reescrito este post, que originalmente empezaba como "Una solución explícita ...", para ilustrar el resultado quizás contraintuitivo del artículo mensual de Myerson.

Answer 3

$1_\mathbb{Q}$ es un "límite doble" de funciones continuas en el sentido de que definimos $f_{nm}(x) = \cos(n!\pi x)^{2m}$ que converge puntualmente a $1_\mathbb{Q}$ para $n,m \to \infty$ .

Defina $g_{nm}(x) = -\log(1-f_{nm}(x))$ que parece hacer (casi) lo que quieres.

El único problema es que puede que no haya una forma inteligente de atravesar $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ para obtener una única secuencia tal que converja puntualmente a $0$ para cada irracional $x$ .