¿Existe una teoría completa que no sea $\kappa$ categórico para cualquier $\kappa$ ?

Question

Uno de los teoremas que he estudiado afirma que:

Sea $\kappa \ge |L|$ Si $\Sigma$ es un $\kappa$ -teoría categorial de $L$ y cada modelo de $\Sigma$ es infinito, $\Sigma$ está completo.

Me pregunté por qué esto no es si y sólo si teorema, pero no pude encontrar un contra-ejemplo.

Más tarde, en un resumen encontré que $Th(\mathbb N)$ no es categórico para ningún $\kappa \ge \aleph_0$ Intenté probarlo, pero fue en vano.

Estoy buscando una prueba de por qué $Th(\mathbb N)$ no es categórico para ningún $\kappa$ o una teoría completa $\mathbb T$ que no es categórico para ningún $\kappa$ con pruebas.

Answer 1

Hay una receta sencilla para elaborar tales teorías. Dadas dos teorías completas contables $T_0,T_1$ podemos formar su "teoría de lado a lado" $SBS(T_0,T_1)$ ; esta teoría dice básicamente que la estructura consiste en un modelo de $T_0$ unión disjunta un modelo de $T_1$ .

Formalmente, supongamos por simplicidad que $T_0$ y $T_1$ tienen lenguajes relacionales disjuntos $L_0$ y $L_1$ . Entonces $SBS(T_0,T_1)$ tiene idioma $L_0\cup L_1\cup \{U\}$ donde $U$ es un nuevo símbolo de relación unario, y axiomas que dicen (i) el $L_0$ -reducto de $U$ es un modelo de $T_0$ (ii) el $L_1$ -reducto de $\neg U$ es un modelo de $T_1$ y iii) ninguna relación de $L_0$ (resp. $L_1$ ) de cualquier tupla que no proceda en su totalidad de $U$ (resp. $\neg U$ ).

Ahora bien $T_0$ no es $\aleph_0$ -categórico y $T_1$ no es categórico en ninguna cardinalidad incontable, $SBS(T_0,T_1)$ no es categórico en ninguna cardinalidad.

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En el caso de $Th(\mathbb{N})$ En concreto, recuerde la Teorema de Baldwin-Lachlan ; ¿puede demostrar que $Th(\mathbb{N})$ tiene incontables modelos contables?

SUGERENCIA: ¿Cuántos tipos hay? $\mathbb{N}$ ? ¿Cuántos pueden realizarse en un único modelo contable?

Answer 2

La teoría de los campos reales cerrados es completa, como sabemos por el argumento de la eliminación del cuantificador.

No es difícil demostrar que hay dos modelos contables que no son isomorfos, el cierre real de $\Bbb Q$ y el cierre de $\Bbb Q(\pi)$ (cualquier trascendental serviría). También tiene dos modelos no isomórficos de tamaño continuo: los reales y los hiperreales. Por el teorema de Morley no tiene tamaño incontable donde sea categórico.

Answer 3

Podrías coger el teoría de los órdenes lineales densos sin primer ni último elemento que se extienden $\mathbb R$ -- o en otras palabras, el diagrama elemental de $(\mathbb R,{<}).$

Es bien sabido que la teoría de los órdenes lineales densos sin primer ni último elemento es completa. Desgraciadamente es $\aleph_0$ -categórica -- pero añadir nuevas constantes para cada real (y axiomas que digan cómo se comparan) lo impide sin perturbar la completitud. Cada frase $\varphi$ todavía menciona sólo finitamente muchos reales, por lo que tendrá una prueba o refutación en función de si $\forall x_1\ldots x_n(x_1<x_2<\cdots<x_n \to \varphi)$ es cierto en $\mathbb Q$ .

Para cada cardinalidad $\ge\mathfrak c$ ahora existe tanto un modelo en el que cada elemento tiene incontables predecesores, como un modelo en el que algunos elementos tienen incontables predecesores. (Se pueden construir tomando un modelo arbitrario y añadiéndole $\mathbb Q$ o $\mathbb R$ delante).