Calcule $E(XY)$ si $\mathrm{Cov}(X, Y) = 0$

Question

$E(X) = 3, E(Y) = 4$ y $E(X^2) = 10, E(Y^2) = 25$

¿Cómo puedo calcular $E(XY)$ Si sé que $\mathrm{Cov}(XY) = 0$

Sé que si $X$ y $Y$ son independientes, entonces $\mathrm{Cov}(X, Y) = 0.$ Pero la covarianza cero no siempre implica independencia

Answer 1

Utilizar la propiedad $\mathrm{Cov}[X,Y] =E[XY]-E[X]E[Y].$ Esto da $\mathrm{Cov}[XY]=E[XY]-12\Rightarrow E[XY]=12.$

Prueba de propiedad: $\mathrm{Cov[X,Y]}=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]\\=E[XY]-E[E[X]Y]-E[XE[Y]]+E[E[X]E[Y]]\\=E[XY]-E[X]E[Y]-E[X]E[Y]+E[X]E[Y]\\=E[XY]-E[X]E[Y].$