Encuentra una posible f(x)

Question

¿Cree que es posible encontrar un $f$ tal que dada una constante en coma flotante $c \gt 0$ y una constante entera $n \gt 0$ entonces $\forall x_i \gt 1, i=1, 2,...,n$ :

$$f\left({1\over x_1}+{1\over x_2}+...+{1\over x_n}\right) = {1\over x_1 + c}+{1\over x_2 + c}+...+{1\over x_n + c}$$

Answer 1

No. Tomamos el caso $n=2$ . Tenga en cuenta que $\frac 16+\frac 12=\frac 13 + \frac 13$ Así que usted está pidiendo que $$f(\frac 23)=\frac 1{2+c}+\frac 1{6+c}=\frac 2{3+c}, \text{ but}\\ \frac 1{2+c}+\frac 1{6+c}=\frac {8+2c}{12+8c+c^2}\\\frac 2{3+c}=\frac {8+2c}{12+7c+c^2} $$ por lo que sólo pueden ser iguales si $c=0$ Podemos ampliarlo a $n$ añadiendo el mismo conjunto de fracciones a cada expresión.

Answer 2

Actualización: Generalizado para $n\geq3, c>0$ no sólo el caso $n=3,c=1$ .

Para $n = 3, c>0, x_1 = x_2 = x_3 = 4c$ : \begin{gather} \frac1{4c} + \frac1{4c} + \frac1{4c} = \frac3{4c}, \\ \frac1{4c+c} + \frac1{4c+c} + \frac1{4c+c} = \frac3{5c}. \end{gather}

Para $n = 3, c>0, x_1 = x_2 = 8c, x_3 = 2c$ : \begin{gather} \frac1{8c} + \frac1{8c} + \frac1{2c} = \frac3{4c}, \\ \frac1{8c+c} + \frac1{8c+c} + \frac1{2c+c} = \frac5{9c}. \end{gather}

Así, para cualquier función posible $f$ , $$ f\left( \frac1{4c} + \frac1{4c} + \frac1{4c} \right) = f\left( \frac3{4c} \right) = f\left( \frac1{8c} + \frac1{8c} + \frac1{2c} \right) $$ pero $$ \frac1{4c+c} + \frac1{4c+c} + \frac1{4c+c} \neq \frac1{8c+c} + \frac1{8c+c} + \frac1{2c+c}. $$

Por lo tanto, para $n=3$ es imposible que $f\left({1\over x_1}+{1\over x_2}+...+{1\over x_n}\right)$ puede ser igual a ${1\over x_1 + c}+{1\over x_2 + c}+...+{1\over x_n + c}$ en todos los casos; en al menos uno de estos dos casos la función no es igual a esta última expresión.

Para ampliarlo a $n>3$ , deje $x_4 = \cdots = x_n = 2$ y modificar las sumas anteriores añadiendo $\frac12 + \cdots + \frac12$ a las sumas de $\frac{1}{x_i}$ et $\frac1{2+c} + \cdots + \frac1{2+c}$ a las sumas de $\frac{1}{x_i + c}$ ; volvemos a tener dos sumas iguales de $\frac{1}{x_i}$ sino sumas desiguales de $\frac{1}{x_i + c}$ .