Demostración del módulo por vía directa o contrapositiva

Question

Tengo que demostrar lo siguiente vía prueba directa o vía contra positiva.

Para $a,b\in \mathbb{Z} $ se deduce que $ (a+b)^3 \equiv a^3 + b^3 \mod 3$

No estoy seguro de cuál es la mejor manera de enfocar esta cuestión, así que cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Considere $$(a+b)^3-(a^3+b^3).$$ Expandiendo obtenemos $$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-(a^3+b^3).$$ Así pues, tenemos $$3a^2b+3ab^2=3(a^2b+ab^2)$$ y se deduce que $$(a+b)^3 \equiv a^3 + b^3 \mod 3.$$

Answer 2

Sugerencia: intente ampliar $(a+b)^3$ . Debería notar un muy bonito patrón con los coeficientes cf triángulo de Pascal.

Answer 3

Puedes usar el teorema de Euler. $3$ es primo, así que: $$\begin{align} a^3 &\equiv a \mod 3 \\ b^3 &\equiv b \mod 3 \\ (a+b)^3 &\equiv a+b \mod 3 \end{align}$$ Por transitividad, obtenemos $(a+b)^3 \equiv a + b \mod 3$ Por lo tanto $(a+b)^3 \equiv a^3 + b^3 \mod 3$ .