Demostrar que una integral impropia es infinitamente diferenciable

Question

Supongamos que $p(x)$ es un polinomio. Defina $$g(s)=\int_0^{\infty}e^{-sx}p(x)dx$$ Demuestre que $g(s)$ es infinitamente diferenciable para $s>0$

Intento calcular $g^{\prime}(s)$ usando la definición, termino obteniendo $$g^{\prime}(s)=\lim_{y\rightarrow s}\frac{g(y)-g(s)}{y-s}=\lim_{y \rightarrow s}\frac{\lim_{t \rightarrow \infty}\int_0^{t}e^{-yx}p(x)dx -\lim_{t \rightarrow \infty}\int_0^{t}e^{-sx}p(x)dx }{y-s} $$ que parece bastante complicado y no sé cómo proceder a partir de aquí.

Pregunta: ¿Podemos intercambiar derivada e integral impropia, es decir. $\frac{d}{ds}\int_0^{\infty}dx=\int_0^{\infty} \frac{d}{ds}dx$ ?

¿Alguien puede dar pistas?

Answer 1

$$g(s)=\int_0^{\infty}e^{-sx}p(x)dx=s^n\int_0^{\infty}\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\dfrac{p(x)x^n}{n!}dx\text{ for finite }e^{-sx},p(x)\forall x\in(-\infty,+\infty).$$ La integral $\int_0^{\infty}\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{p(x)x^n}{n!}dx$ se evalúa como una constante $C$ ya que $p(x)$ es sólo un polinomio. Es $g(s)=Cs^n$ infinitamente diferenciable?