¿Por qué la categoría de módulo estable?

Question

Sea $R$ sea un anillo (normalmente se supone que es de Frobenius). El categoría de módulo estable es lo que se obtiene cuando se toma la categoría $\mathsf{Mod}_R$ de $R$ -módulos proyectivos. (Por supuesto, si $R$ es Frobenius, estos son los mismos que los módulos inyectivos).

Pregunta 1: ¿Por qué matamos los módulos proyectivos? ¿Qué hicieron en concreto para provocar nuestra ira?

Obviamente, una motivación para la construcción es que resulta en una categoría triangulada (y creo que, si se hace correctamente, una categoría estable). $\infty$ -categoría). Pero, por un lado, hay otras formas de extraer una $\infty$ -categoría de $R$ como tomar la categoría derivada. Y por otro lado, seguro que hay otras clases de módulos que podríamos haber elegido matar para conseguir el mismo efecto. Por ejemplo, ¿por qué no matar todos los módulos dualizables o algo así (suponiendo que $R$ es un álgebra de Hopf)?

Pregunta 2: ¿Cuál es la interpretación geométrica de la categoría de módulos estables?

Pregunta 3: ¿Cuál es la relación entre la categoría de módulo estable y la categoría de singularidad de $R$ ?

Answer 1

A la pregunta 1: Una gran motivación para mí es que dos álgebras de Frobenius pueden ser equivalentes estables pero no equivalentes de Morita y una clasificación hasta la equivalencia estable puede ser muy agradable.

Por ejemplo, una clasificación de las álgebras de Frobenius con representación finita hasta la equivalencia de Morita es bastante complicada (y sólo se conoce para campos algebraicamente cerrados, así que para simplificar supongamos que los campos son algebraicamente cerrados de característica 0).

Pero la clasificación hasta la equivalencia estable es muy buena y puede utilizarse para demostrar cosas sobre una gran clase de álgebras observando sólo una clase de álgebras mucho más pequeña y sencilla.

Por ejemplo, si quieres demostrar que el anillo de endomorfismo estable de cada módulo indecomponible de una álgebra arborescente de Brauer es isomorfo a $K[x]/(x^n)$ (para algunos $n$ ) se puede utilizar que todas las álgebras arborescentes de Brauer son equivalentes estables a las álgebras simétricas de Nakayama donde el cálculo es casi trivial ya que incluso los anillos de endomorfismo habituales son isomorfos a $K[x]/(x^n)$ para algunos $n$ . Como ejemplo un poco más no trivial también se pueden determinar todos los anillos de endomorfismo estables o grupos de extensión (o cualquier otra invariancia estable) para álgebras de Frobenius de representación finita generales de esa manera.

Los resultados de la clasificación de ciertas clases importantes de módulos, como los módulos basculantes en racimo para álgebras autoinyectivas, también dependen únicamente de la categoría de módulos estables.

Otro ejemplo de equivalencia estable agradable son los anillos de singularidades simples de tipo $A_n$ donde la categoría estable de módulos maximales de Cohen-Mcaulay es equivalente estable a la categoría de módulos estables de $K[x]/(x^n)$ .

Otra respuesta a la pregunta 1 podría ser que ciertos funtores importantes sólo están bien definidos en la categoría de módulos estables, pero no en toda la categoría de módulos, como el funtor de sicigia o la traslación de Auslander-Reiten.

A la pregunta 2: Para obtener una imagen "geométrica" al menos para una categoría estable de representación finita se puede tomar el anillo de endomorfismo estable, que a menudo es un álgebra de carcaj de dimensión finita. Por ejemplo, si tomamos un anillo de singularidades simples de tipo Dynkin, obtendremos el álgebra preproyectiva de ese tipo Dynkin como el anillo de endomorfismo estable de la suma directa de todos los módulos maximales de Cohen-Macaulay.

A la pregunta 3: La categoría estable de módulos maximales de Cohen-Macaulay de un anillo Gorenstein $R$ es equivalente a la categoría de singularidad por un famoso resultado de Buchweitz, véase por ejemplo en el libro https://bookstore.ams.org/view?ProductCode=SURV/262 . En $R$ es Frobenius, entonces se trata de toda la categoría de módulos estables.

Answer 2

Una de las razones es que $\text{stab}_{kG}(k,M)_*=\widehat{H}^{-*}(g;M)$ (la cohomología de Tate de $G$ con coeficientes en $M$ ). Creo que Tate inventó la cohomología de Tate para aplicaciones en la Teoría de Clases de Campos, y también hay aplicaciones en varios otros lugares; si estás interesado en alguno de ellos, entonces es natural considerar la categoría de módulos estables. Como otro ejemplo, se puede considerar la secuencia espectral de Adams $$ \text{Ext}^{st}_{\mathcal{A(1)}}(H^*(X;\mathbb{F}_2),\mathbb{F}_2) \Longrightarrow kO_{t-s}(X) $$ A menudo es conveniente tratar el $\text{Ext}^0$ término por separado y pensar en el $\text{Ext}$ como conjuntos de morfismos en la categoría de módulos estables. Esto se debe a que a menudo existen fórmulas como $M\otimes N=L\oplus F$ donde $F$ es gratuito pero grande y $L$ es pequeño y viene dado por una fórmula ordenada. Creo que con $\text{tmf}$ y $\mathcal{A}(2)$ .

En la teoría de homotopía estable equivariante, la contrapartida de la cohomología de Tate es el functor $X\mapsto \widetilde{EG}\wedge F(EG_+,X)$ (o $X\mapsto (\widetilde{EG}\wedge F(EG_+,X))^G$ ) en $G$ -spectra. En términos más generales, si $\mathcal{F}$ es una familia de subgrupos de $G$ cerrado bajo subconjugación, hay un esencialmente único $G$ -espacio $E\mathcal{F}$ con $E\mathcal{F}^H$ contractible (para $H\in\mathcal{F}$ ) o vacía (para $H\not\in\mathcal{F}$ ). También escribimos $\widetilde{E\mathcal{F}}$ para la suspensión no reducida de $E\mathcal{F}$ . Dadas dos familias cualesquiera, se puede considerar el functor $X\mapsto\widetilde{E\mathcal{E}}\wedge F(E\mathcal{F}_+X)$ que es una generalización de la cohomología de Tate. Functores de este tipo aparecen con frecuencia en la literatura. Supongo que también se han considerado cosas similares en categorías puramente algebraicas. Una propiedad clave de $\widetilde{E\mathcal{F}}$ es que es una localización aplastante del objeto unitario y, por tanto, es idempotente, y las propiedades correspondientes se han utilizado ciertamente en otros contextos tensor-triangulados.

Answer 3

Al menos cuando (además de los supuestos de la OP) $R$ es un álgebra de dimensión finita sobre un campo, existe un teorema de Rickard que dice que si consideramos la categoría derivada acotada $D^b(R\text{-mod})$ de generación finita $R$ -su cociente de Verdier por los complejos perfectos es precisamente la categoría de módulos estables (de los módulos finitamente generados $R$ -): $$D^b(R\text{-mod})\, / \,D^{\text{perf}}(R) \cong \operatorname{stmod}(R) \, .$$

Si $R$ además es una coalgebra, estas categorías trianguladas son categorías tensor-trianguladas (tt) en el sentido de Balmer, por lo que tienen un espectro tt asociado $\operatorname{Spc}$ que suele considerarse un objeto geométrico. Desde este punto de vista $D^{\text{perf}}(R)$ suele ser "pequeña", o dicho de otro modo, la categoría derivada y la categoría del módulo estable están "próximas". Por ejemplo, cuando $R=kG$ para un grupo finito $G$ estos espectros pueden interpretarse (gracias al trabajo de Benson-Carlson-Rickard en los años 90) en términos del álgebra de cohomología $\operatorname{H}^*(G;k)$ como $$\operatorname{Spc}(D^b(kG\text{-mod})) \cong \operatorname{Spec}^h(\operatorname{H}^*(G;k))$$ $$\operatorname{Spc}(\operatorname{stmod}(kG)) \cong \operatorname{Proj}(\operatorname{H}^*(G;k))$$ donde la primera sólo tiene un punto más (cerrado).