La noción de que un espaciotiempo puede descomponerse en una parte espacial y otra temporal suele denominarse foliación espacial , donde su colector espaciotiempo puede descomponerse en submanifolds puramente espaciales en un momento dado :
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El espaciotiempo en la relatividad general es siempre localmente como el espacio de Minkowski, como se suele decir. En cierto sentido, siempre es posible generar unas coordenadas locales en las que se pueda dividir el espaciotiempo en una parte espacial y otra temporal como ésa.
Hay muchas maneras de hacerlo, pero consideremos este ejemplo: en un punto dado $p$ el espacio tangente $T_p M$ sólo se parece al espacio de Minkowski. Puedes asignar alguna base ortonormal $\{ e_\mu\}$ allí, donde $e_0$ es un vector temporal y los demás vectores son espaciales.
Alrededor de este punto $p$ existe una vecindad $U_p$ que mapea un subconjunto del espacio tangente $T_p M$ a $U_p$ biyectivamente : cada vector corresponde a un punto de esa vecindad y viceversa. El mapa es el mapa exponencial en $p$ , $\exp_p : T_p M \to U_p$ y suele construirse, por ejemplo, considerando geodésicas (con la parametrización temporal adecuada) que emanan de $p$ con un vector tangente $v$ .
Esto define un conjunto de coordenadas en el colector que están muy cerca del espacio de Minkowski, y ciertamente permiten una descomposición en tiempo y espacio. Las coordenadas temporales son simplemente el flujo del $e_0$ vector, adecuadamente transportado paralelamente alrededor, y lo mismo ocurre con las coordenadas espaciales. Además, si se define una foliación de $T_p M$ en rebanadas espaciales (como se puede hacer generalmente), esto corresponde a una foliación de esta vecindad en tales rebanadas también.
El problema de la relatividad general aquí es que esta vecindad generalmente tiene una extensión finita. El mapa exponencial deja de ser biyectivo en algún punto (el lugar de corte), lo que significa que dos curvas que parten de $p$ con direcciones diferentes acaban en el mismo punto, por lo que dejan de tener coordenadas válidas en ese punto (físicamente, esto correspondería, por ejemplo, a dos objetos disparados en direcciones diferentes que acaban cruzándose, como en el caso de las lentes gravitacionales). Esto no quiere decir necesariamente que ya no se pueda dividir el espaciotiempo en tiempo y espacio más allá de ese punto, sino que el método más básico para hacerlo ya no funcionará.
El rango en el que podemos utilizarlo se denomina radio de inyectividad del mapa exponencial. Es una cantidad bastante difícil de estimar, pero que yo sepa no es un problema para ningún cuerpo dentro del sistema solar, por ejemplo (aunque se pueden obtener anillos de Einstein para la observación de otras estrellas), para que te hagas una idea de las escalas implicadas.
Si no se pueden extender tales coordenadas de ese modo, sigue siendo posible (y de hecho bastante probable) que el espaciotiempo pueda descomponerse de ese modo. Se pueden encontrar contraejemplos. Por ejemplo un par de pantalones El espaciotiempo (en el que alguna región inicial se divide en dos al cabo de cierto tiempo) no admite tal descomposición global en una parte temporal y otra espacial :
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El espaciotiempo de Gödel tampoco admite tal foliación. No hay forma de decir, ni siquiera convencionalmente, si dos sucesos ocurren simultáneamente en él.
La raíz de estos problemas es bastante compleja. A nivel formal, esto se debe a la falta de una distribución integrable en esos espaciotiempos: no hay un conjunto de 3 campos vectoriales semejantes al espacio en ese espaciotiempo que puedan ser a la vez las tangentes de una foliación de 3 submanifoldos y también complementarios a una foliación por vectores semejantes al tiempo.
Aunque este problema no se debe totalmente a la causalidad (muchos espaciotiempos no causales admiten este tipo de foliación), es cierto que si la causalidad de un espaciotiempo es lo suficientemente buena, admitirá este tipo de foliación. Si un espaciotiempo es establemente causal, existe una foliación en hipersuperficies espaciales. Esto significa, a grandes rasgos, que 1) no hay curvas temporales o causales cerradas (los objetos no pueden intersectarse en el pasado) 2) esas curvas no pueden ser también casi cerrado 3) no puedes tener esos problemas aunque cambies un poco la métrica.
Como se trata de condiciones de causalidad muy suaves, se suele suponer que los espaciotiempos pueden descomponerse así. Si reforzamos un poco esas condiciones causales para que sean globalmente hiperbólicas, tenemos además la condición de que todos los cortes espaciales son idénticos, y nuestro espaciotiempo tiene la topología $\mathbb{R} \times \Sigma$ con la línea $\mathbb{R}$ siendo el tiempo y $\Sigma$ siendo alguna variedad espacial.
Tenga en cuenta que estas descomposiciones no son único . Al igual que en la relatividad especial, donde el equivalente es la consideración de las superficies de simultaneidad, podemos elegir una gran variedad de tales descomposiciones. Si el espaciotiempo puede descomponerse, pero aún así no se comporta del todo bien, es incluso posible que diferentes foliaciones tengan propiedades muy diferentes, como tener diferentes topologías para los cortes espaciales.
Pero, en general, son consideraciones muy teóricas. Por lo que podemos deducir de las observaciones, nuestro espaciotiempo es muy aburrido en ese sentido, y puede descomponerse en tiempo y espacio sin demasiadas preocupaciones, siempre que se tenga en cuenta que se trata de elecciones de las que hay que hacer un seguimiento. Si te preocupan las observaciones astronómicas reales, por ejemplo, puedes consultar algunas de las coordenadas astronómicas "oficiales" del espaciotiempo [1] [2] utilizados sobre el terreno, que tienen muy en cuenta la división en tiempo y espacio.
