Buscar : $\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{n^4}}{\left(1+\frac{1}{(n+1)^3}\right)^{(n+1)^4}}$

Question

Buscar :

$$\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{n^4}}{\left(1+\frac{1}{(n+1)^3}\right)^{(n+1)^4}}$$

Mi intento : ¡no sé si es correcto o no! Yo uso esta regla :

$$\lim\limits_{n\to +\infty}(f(x))^{g(x)}=1^{\infty}$$

Entonces..:

$$\lim\limits_{n\to +\infty}(f(x))^{g(x)}=\lim\limits_{n\to +\infty}e^{g(x)(f(x)-1)}$$

Así que..:

$$\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{n^4}}{\left(1+\frac{1}{(n+1)^3}\right)^{(n+1)^4}}$$

$$=\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{e^{\frac{n^{4}}{n^{3}}}}{e^{\frac{(n+1)^{4}}{(n+1)^{3}}}}$$

$$=\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{e^{n}}{e^{n+1}}$$

$$=\frac{1}{e}$$

¿Es erróneo mi planteamiento?

¿se llama esto cálculo de límite parcial?

Answer 1

Pista: $$\frac{\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{n^4}}{\left(1+\frac{1}{(n+1)^3}\right)^{(n+1)^4}}=\frac{\left(\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{n^3}\right)^n}{\left(\left(1+\frac{1}{(n+1)^3}\right)^{(n+1)^3}\right)^{(n+1)}}$$ $$=\frac{\left(\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{n^3}\right)^n}{\left(\left(1+\frac{1}{(n+1)^3}\right)^{(n+1)^3}\right)^{n}\left(1+\frac{1}{(n+1)^3}\right)^{(n+1)^3}}$$