Buscar : $\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{n^4}}{\left(1+\frac{1}{(n+1)^3}\right)^{(n+1)^4}}$

Question

Buscar :

$$\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{n^4}}{\left(1+\frac{1}{(n+1)^3}\right)^{(n+1)^4}}$$

Mi intento : ¡no sé si es correcto o no! Yo uso esta regla :

$$\lim\limits_{n\to +\infty}(f(x))^{g(x)}=1^{\infty}$$

Entonces..:

$$\lim\limits_{n\to +\infty}(f(x))^{g(x)}=\lim\limits_{n\to +\infty}e^{g(x)(f(x)-1)}$$

Así que..:

$$\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{n^4}}{\left(1+\frac{1}{(n+1)^3}\right)^{(n+1)^4}}$$

$$=\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{e^{\frac{n^{4}}{n^{3}}}}{e^{\frac{(n+1)^{4}}{(n+1)^{3}}}}$$

$$=\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{e^{n}}{e^{n+1}}$$

$$=\frac{1}{e}$$

¿Es erróneo mi planteamiento?

¿se llama esto cálculo de límite parcial?

Answer 1

SUGERENCIA:

Utilice la desigualdad $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n < e < \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$$ así que $$e^{\frac{1}{n+1}}< \left(1+\frac{1}{n}\right)< e^{\frac{1}{n}}$$ Obtenemos límites inferior y superior: $$e^{\frac{n^4}{n^3+1}}< \left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{n^4}< e^n $$ $$e^{\frac{(n+1)^4}{(n+1)^3 +1}}< \left(1 + \frac{1}{(n+1)^3}\right)^{(n+1)^4} < e^{n+1}$$

Concluya: $$e^{\frac{n^4}{n^3+1}}/e^{n+1}< \ldots < e^n/e^{\frac{(n+1)^4}{(n+1)^3 +1}}$$ por lo que el límite es $\frac{1}{e}$ .

Answer 2

Observemos que el exponente $(n+1)^4$ en el denominador puede escribirse como $$n^4+4n^3+\dots$$ y, por tanto, el denominador puede escribirse como producto de un número finito de factores, el primero de los cuales es $(1+(n+1)^{-3})^{n^4}$ el segundo de los cuales es $(1+(n+1)^{-3})^{4n^3}$ y el resto de factores tienden a $1$ (justifíquelo usted mismo). El segundo factor tiende a $e^{4}$ . Así, el límite deseado es igual al límite de la expresión $$e^{-4}\left(\dfrac{1+\dfrac{1}{n^3}}{1+\dfrac{1}{(n+1)^3}}\right)^{n^4}$$ que puede reescribirse como $$ e^{-4}\left(1+\frac{3n^2+3n+1}{n^3(1+(n+1)^3)}\right)^{n^4}$$ y luego puede aplicar su fórmula para obtener el límite como $$e^{-4}\exp\left(\lim_{n\to\infty} n^4\cdot\frac{3n^2+3n+1}{n^3((n+1)^3+1)}\right)=\frac{1}{e}$$

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Ampliando mi comentario a tu pregunta, observemos que si tu regla diera resultados finitos para numerador y denominador (incluyendo denominador distinto de cero) habría estado bien. Pero aquí lleva a la conclusión de que tanto numerador como denominador tienden a $\infty$ . La norma dice que si $f(x) \to 1$ y $g(x) \to\infty $ y además $\exp(g(x) (f(x) - 1))$ tiende a un límite o a $\infty $ entonces también $\{f(x) \} ^{g(x)} $ . No significa que en estas circunstancias se pueda sustituir la expresión $f^g$ por $\exp(g(x)(f(x)-1))$ .

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Nota : La versión anterior de esta respuesta utilizaba manipulaciones innecesarias que resultaban tediosas. La simplicidad se nos escapa de formas sorprendentes.

Answer 3

Suponiendo que desee obtener más que el propio límite, a partir de $$a_n=\frac{\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{n^4}}{\left(1+\frac{1}{(n+1)^3}\right)^{(n+1)^4}}$$ tomar logaritmos $$\log(a_n)=n^4\log\left(1+\frac{1}{n^3}\right)-(n+1)^4\log\left(1+\frac{1}{(n+1)^3}\right)$$ Utilizar el doble de expansión $$\log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+O\left(x^5\right)$$ y ampliar para obtener $$\log(a_n)=-1-\frac{1}{n^3}+\frac{3}{2n^4}+O\left(\frac{1}{n^5}\right)$$ y continuar con la serie Taylor $$a_n=e^{\log(a_n)}=e\left(1-\frac{1}{n^3}+\frac{3}{2n^4}\right)+O\left(\frac{1}{n^5}\right)$$ que muestra el límite y cómo se aproxima a él. Además, esto proporciona una estimación abreviada de $a_n$ .

Supongamos que, utilizando su calculadora de bolsillo, calcula $a_3$ . Deberías recibir $a_3=0.3594$ mientras que la expansión truncada anterior da $\frac{53}{54 e}=0.3611$

Answer 4

Otro método por el MVT de Lagrange. Sea $f(x)=x^4\log\left(1+\frac{1}{x^3}\right)$ entonces $$\frac{\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{n^4}}{\left(1+\frac{1}{(n+1)^3}\right)^{(n+1)^4}} =e^{f(n)-f(n+1)}.$$ Por la MVT de Lagrange, existe $\xi_n\in(n,n+1)$ tal que $$f(n+1)-f(n)=f'(\xi_n).$$ Un cálculo elemental da que $$f'(x)=4x^3\log\left(1+\frac{1}{x^3}\right)-\frac{3x^3}{x^3+1},$$ et $$\lim_{x\to\infty}f'(x)=4-3=1.$$ Así que $$\lim_{n\to \infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{n^4}}{\left(1+\frac{1}{(n+1)^3}\right)^{(n+1)^4}}=\lim_{n\to \infty}e^{-f'(\xi_n)}=\lim_{x\to \infty}e^{-f'(x)}=\frac{1}{e}.$$

Answer 5

El problema es que no has mostrado cómo estás utilizando exactamente el lema / teorema al que haces referencia (para límites de la forma $1^{\infty}$ ). El límite dado no es $1^{\infty}$ . En realidad es $\infty/\infty$ . Así que una explicación es que usted está asumiendo $$\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{n^4}}{\left(1+\frac{1}{(n+1)^3}\right)^{(n+1)^4}} =\frac{\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{n^4}}{\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{(n+1)^3}\right)^{(n+1)^4}} $$ Ahora cada uno de los límites (en el numerador y el denominador) es $1^{\infty}$ y podrías aplicar el lema. Excepto que la manipulación anterior es incorrecta ya que ambos límites son $\infty$ . Lo que podríamos hacer en su lugar es afirmar que $$\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{n^4}\sim e^n\,\,(n\to\infty)\\ \left(1+\frac{1}{(n+1)^3}\right)^{(n+1)^4}\sim e^{n+1}\,\,(n\to\infty) $$ Tal afirmación requiere una justificación, por supuesto. Por ejemplo, considerando las expansiones en serie de las expresiones.