clasificación de equilibrios de sistemas dinámicos con múltiples variables

Question

Estoy luchando sobre cómo clasificar los equilibrios

El sistema con el que estoy trabajando es:

$\dot{x}=y$

$\dot{y}=-ay-k^2sinx$

donde $a>0$

Conseguí encontrar los equilibrios como $(0,0), (\pi,0),(-\pi,0)$ así como todos los demás múltiplos de $\pi$

Obtuve el jacobiano para $(0,0)$ ser

$$\begin{pmatrix} 0&1\\ -k^2&-a \end{pmatrix}$$

con valores propios $$\lambda=\frac{-a\pm \sqrt{a^2-4k^2}}{2}$$

Obtuve el jacobiano para $(\pi,0)$ ser $$\begin{pmatrix} 0&1\\ k^2&-a \end{pmatrix}$$ con valores propios $$\lambda=\frac{-a\pm \sqrt{a^2+4k^2}}{2}$$

Supongo que lo que estoy preguntando es si lo he hecho bien hasta ahora, y si es así, cómo podría clasificarlos cuando todo lo que sé es que $a>0$ ?

Answer 1

En el primer caso, siempre que $0<2k\le a$ ambos valores propios son negativos, para $a<2k$ tienen parte real negativa. Así que siempre es un sumidero, un nodo en el primer caso, una espiral en el segundo, con un nodo impropio en el medio.

Para el segundo caso, observe que $-a-\sqrt{a^2+4k^2}<0$ y $-a+\sqrt{a^2+4k^2}=\frac{4k^2}{a+\sqrt{a^2+4k^2}}>0$ para que tengas un punto de ensilladura.