Hasta ahora me está costando encontrar tal poset.
Primero consideré $(\mathbb{Z}, \leq )$ porque no tiene anticadenas por lo que no hay infinitas.
El problema es que, aunque la cadena por la que se puede cubrir es infinita, sólo requiere una cadena en lugar de una cantidad infinita de cadenas.
¿Alguien tiene alguna pista sobre por dónde empezar a buscar un poset de este tipo?
El poset $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ tiene la propiedad deseada.
Para demostrar que no tiene anticadenas infinitas, usa:
Definición 0. Un pqo es un conjunto parcialmente ordenado que está bien fundado y no tiene anticadenas infinitas.
Proposición 0. Un producto finito de pqo's es un pqo.
Siguiendo el comentario de Nate, podemos demostrar que no puede ser cubierto por finitamente muchas cadenas utilizando:
Definición 1/Proposición. Sea $P$ denota un poset. Sea $A$ denotan una anticadena de $P$ y $K$ denota un recubrimiento de $P$ por cadenas. Entonces escribiremos $[A,K]$ para la función parcial suryectiva $A \leftarrow K$ que asigna a cada $k \in K$ el único $a \in A$ tal que $a \in k$ siempre que $a$ existe. Por lo tanto (proposición:) $|A| \leq |K|$ .
Corolario. Sea $P$ denota un poset que tiene una anticadena de cada cardinalidad finita. Entonces para cada recubrimiento $K$ de $P$ por cadenas, tenemos $\aleph_0 \leq |K|.$
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