Sea $X=S^1\lor S^1\lor\cdots$ sea la cuña contablemente infinita de $S^1$ 's. Sabemos que en el caso finito, dado $k$ factores $S^1$ en la cuña, que $\pi_1(X)=\Bbb Z*\Bbb Z*\cdots$ con el producto tomado $k$ veces, y puedes mostrarlo fácilmente usando Van Kampen. Mi pregunta es cómo tratar el caso infinito. Mi afirmación es que $\pi_1(X)=\Bbb Z*\Bbb Z*\cdots$ el producto libre de infinitos contables $\Bbb Z$ . Por ahora he demostrado rigurosamente que $\pi_1(X)$ no es trivial utilizando van Kampen y una estrategia similar a la del caso finito. Pero, ¿se puede demostrar el resultado correctamente?
Respuesta
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En primer lugar, Hatcher demuestra Van Kampen para un número arbitrario de conjuntos abiertos, y creo que debería demostrarse así, ya que no requiere mucho más esfuerzo (véase el teorema 1.20 en El libro de Hatcher o si le apetece (presumiblemente) trabajar un poco más, el capítulo sobre Van Kampen en El libro de May ).
En cualquier caso, si prefieres ceñirte a Van Kampen para conjuntos abiertos finitos, hay un argumento fácil para demostrar que $\pi_1(X)\cong*_{n\in\mathbb{N}}\mathbb{Z}$ utilizando un truco que, en realidad, suele ser útil. En primer lugar, usted dijo que logró demostrar que $\pi_1(X)$ no es trivial, así que supongo que estarás de acuerdo en que el morfismo de grupo $*_{n\in\mathbb{N}}\mathbb{Z}\hookrightarrow \pi_1(X)$ definida enviando cada generador del grupo libre a un bucle alrededor de un círculo en el producto cuña (por supuesto, se asigna exactamente un generador a cada círculo) es inyectiva. Entonces sólo necesitamos demostrar la subjetividad de nuestro morfismo, lo que podemos hacer de la siguiente manera. Un elemento $\alpha$ en $\pi_1(X)$ se representa mediante un mapa $[0,1]\to X$ y puesto que $[0,1]$ es compacto dicho mapa debe tener imagen compacta, por lo que la imagen debe estar contenida en un número finito de círculos en $X$ . Van Kampen en el caso finito demuestra que existe algún elemento en $*_{n\in\mathbb{N}}\mathbb{Z}$ que se asigna a $\alpha$ . Esto demuestra que $\pi_1(X)\cong*_{n\in\mathbb{N}}\mathbb{Z}$ .
