Calcular $\lim\limits_{x \to 0^+}\frac{\ln(x)}{x}$

Question

Estoy atascado en esta pregunta:

La pregunta original es: ¿encontrar $\lim\limits_{x \to 0^+} x^{1/x}$ .

Esto equivale a $\lim\limits_{x \to 0^+}e^{\frac{\ln(x)}{x}}$

Estoy atascado en el cálculo $\lim\limits_{x \to 0^+}\frac{\ln(x)}{x}$ .

No veo cómo puedo utilizar la Regla de L'Hopital o el Teorema del Apriete para resolver esto.

Sé que la respuesta final es $0$ por lo que el límite en el exponente tiene que ser infinito negativo, pero no entiendo por qué esta es la respuesta.

Answer 1

L'Hospital no se aplica: como $x\to0^+$ tenemos $\log(x)\to-\infty$ y $x\to0^+$ .

Ignorando los signos al principio, ¿qué ocurre cuando el numerador se hace grande y el denominador pequeño?

A continuación, aplique las señales.

Answer 2

Aquí no hay ninguna dificultad:

$ \lim_{x \to 0} \; \ln(x) = -\infty $

y

$ \lim_{x \to 0} \; \dfrac{1}{x} = +\infty $

Por producto tiene su $-\infty$ . Usado en exp se encuentra el resultado final.