Se conoce la función $\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n\mu(n)}{n^s}$ donde $s$ es la variable compleja y $\mu(n)$ ¿la función de Möbius?

Question

Sea $\mu(n)$ la función de Möbius, ver su definición por ejemplo de este MathWorld y denotamos con $s$ la variable compleja.

Tengo curiosidad por saber si algún caso de la serie $$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n\mu(n)}{n^s}$$ para $\Re s\geq \frac{1}{2}$ en la literatura.

Hice experimentos sencillos con Wolfram Alpha y a partir de ellos creo que se puede calcular una forma cerrada para el caso $s=2+0\cdot i=2$ y escribir una identidad en términos de la constante $\frac{1}{\zeta(3)}$ para el caso $s=3$ .

Pregunta. Era en la literatura la serie formal (o función compleja definida en un dominio del plano complejo) $$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n\mu(n)}{n^s}\,?\tag{1}$$ A continuación, consulte la literatura y trato de encontrar y leer los hechos conocidos acerca de la función compleja $(1)$ . Muchas gracias.

Answer 1

Supongamos por un momento que $\operatorname{Re}(s) > 1$ . A continuación, utilizando el hecho de que $\mu$ es multiplicativa, tenemos

$$ \sum_{n\text{ even}} \frac{\mu(n)}{n^s} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\mu(2k)}{(2k)^s} = - \frac{1}{2^s} \sum_{k\text{ odd}} \frac{\mu(k)}{k^s}. $$

Por tanto, si escribimos $D(s) = \sum_{k\text{ odd}} \frac{\mu(k)}{k^s}$ entonces

$$ \frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s} = (1 - 2^{-s})D(s) $$

y por lo tanto

\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \mu(n)}{n^s} &= \sum_{n\text{ even}} \frac{\mu(n)}{n^s} - \sum_{n\text{ odd}} \frac{\mu(n)}{n^s} \\ &= -(1+2^{-s})D(s) = - \frac{2^s+1}{2^s-1} \cdot \frac{1}{\zeta(s)}. \end{align*}