Prueba límite y de relación

Question

Aquí el problema 2.3.29(5) de Sohrab, Basic Real Analysis

Problema

Investiga la convergencia o divergencia de las siguientes series $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots$

Sugerencia: tenga en cuenta que la prueba de la proporción no es concluyente.

Solución

$x_k=\frac{1}{2^k}+\frac{1}{3^k}$ . Prueba de relación:

$$ \lim(x_{n+1}/x_n)=\lim\frac{\frac{1}{2^{k+1}}+\frac{1}{3^{k+1}}}{\frac{1}{2^k}+\frac{1}{3^k}}=\lim \frac{1}{6}\frac{3^{k+1}+2^{k+1}}{3^k+2^k}\\ =\lim\frac{1}{6}\frac{1+(\frac{2}{3})^{k+1}}{\frac{1}{3}(1+(\frac{2}{3})^k)}=\frac{1}{2}<1. $$

Así $\sum(\frac{1}{2^k}+\frac{1}{3^k})$ es convergente.

Pregunta

¿Es posible que la pista esté equivocada? Si no, ¿cuál es mi error?

Answer 1

Hay múltiples maneras de escribir la expresión dada precisamente como una serie infinita. Creo que la idea del autor del problema era escribirla como $\sum_{k=1}^\infty x_k$ donde $$ x_k = \begin{cases} \frac1{2^{(k+1)/2}}\,, &\text{if $k$ is odd}, \\ \frac1{3^{k/2}}, &\text{if $k$ is even}. \end{cases} $$ En esta forma, la prueba de la proporción no es concluyente. Sin embargo, si la reescribes de la forma que has dado, la prueba de la proporción es correcta. Como todos los términos son positivos, también puedes separar las potencias de $\frac12$ de los poderes de $\frac13$ (en dos series infinitas) y evaluar cada una por separado.