¿Cuáles son sus anillos finitos no conmutativos favoritos?

Question

Cuando se comprueba una conjetura o se trabaja en una demostración, es bueno tener a mano una colección de ejemplos.

Hay muchos ejemplos prácticos de anillos conmutativos, tanto finitos como infinitos, y hay muchos ejemplos prácticos de anillos infinitos no conmutativos. Pero no tengo una buena colección de anillos finitos no conmutativos en los que pensar. Normalmente sólo pienso en un anillo matricial sobre un campo finito.

¿Tienes otros ejemplos que te gusten especialmente/te parezcan fáciles de usar/te parezcan una buena fuente de contraejemplos?

Answer 1

Desde un punto de vista, la clasificación de anillos finitos no conmutativos o incluso de anillos finitos conmutativos es salvaje y pueden ocurrir montones de cosas. Desde otro punto de vista, los anillos finitos están muy restringidos y no pueden ocurrir muchas cosas.

Por el teorema chino del resto, todo anillo finito es suma directa única de $p$ -anillos finitos primos, es decir, anillos cuya cardinalidad es una potencia de algún primo $p$ . Dicho anillo es un álgebra sobre $\mathbb{Z}/p^k$ para algunos $k$ y la condición de finitud es entonces equivalente a la afirmación de que esta álgebra es artiniana y finitamente generada. Podemos considerar el caso $k=1$ para empezar, porque entonces se obtiene un álgebra de dimensión finita sobre un campo. Anillos sobre $\mathbb{Z}/p^k$ para una mayor $k$ se parecerá a estas álgebras.

Un álgebra de dimensión finita tiene radical de Jacobson y un cociente semisimple maximal si se hace el cociente por ese radical. Por los teoremas de Wedderburn y Artin-Wedderburn, el cociente semisimple es una suma directa de álgebras matriciales sobre un campo finito. Con esto terminamos con los ejemplos semisimples.

Supongamos en el otro extremo que el cociente semisimple es un campo finito $\mathbb{F}_q$ . Cualquier álgebra de este tipo es un cociente de dimensión finita del álgebra polinómica libre $\mathbb{F}_q\langle x, y, \ldots \rangle$ . De hecho será un cociente del truncamiento definido por matar todos los monomios de grado $k$ para algunos $k$ . Tal truncamiento es ya un ejemplo interesante, por ejemplo, el álgebra abarcada por $1,x,y,x^2,y^2,xy,yx$ , con todos los monomios mayores puestos a 0. La parte salvaje de la clasificación es que un cociente general de este tipo puede ser muy complicado, porque está definido por un ideal o un truncamiento en una posición muy complicada. (Es como cortar una tubería ascendente: el corte puede ser liso o muy dentado).

El álgebra general de dimensión finita será una combinación de estas diversas ideas. Esto es un poco simplista porque se pueden obtener cosas como álgebras de caminos truncados, pero es cierto.

Answer 2

2 familias de ejemplos que a veces es útil tener en mente:

(1) El anillo de grupo de un grupo finito no abeliano sobre un anillo finito conmutativo.

y

(2) el álgebra de incidencia de un poste finito sobre un anillo conmutativo finito (el anillo de matrices triangulares superiores es un ejemplo básico).

Por supuesto, ambos son casos especiales de la misma definición categórica (o de carcaj) más general. Antes de escribir eso nunca había tratado el concepto más general, pero era mentira...

Answer 3

El álgebra de caminos de un carcaj acíclico (sin bucles ni circuitos cerrados) sobre un campo finito. Estos anillos son hereditario es decir, tienen dimensión proyectiva $\leq 1$ y ocupan una posición intermedia entre los ejemplos semisimples y salvajes de Greg. Si un carcaj es "arbóreo" (el multigrafo no dirigido subyacente es de hecho un árbol) entonces su álgebra de caminos puede identificarse con el álgebra de incidencia del conjunto de vértices en el que $i\leq j$ $\iff$ existe un camino dirigido desde $i$ a $j$ (por la hipótesis, hay a lo sumo uno).

Para cualquier anillo $R$ se puede formar álgebra matricial $M_n(R)$ y serán equivalentes a Morita. En particular, los anillos matriciales de álgebras camino también son hereditarios, pero sus módulos simples no son todos unidimensionales.

Por cierto, creo que en el entorno no conmutativo, cuando el morfismo de Frobenius no está disponible, esto es un pregunta equivocada todas las álgebras finito-dimensionales sobre un campo deben considerarse de forma similar, independientemente de si el campo es finito o infinito.

Answer 4

Kent Fuller ofrece una buena forma de construir anillos artinianos no conmutativos mediante diagramas en su artículo "Algebras from Diagrams" (Journal of Pure and Applied Algebra, volumen 48, números 1-2, septiembre de 1987, páginas 23-37). Utilizando este enfoque, se puede crear un anillo con una estructura preconcebida, que se visualiza mediante un diagrama. Existen algunas restricciones en cuanto a los diagramas que se pueden utilizar, pero si lo que buscas son ejemplos sencillos, esto no debería preocuparte. A continuación, utilizando cualquier campo finito, puede crear (esencialmente) un (semi)anillo de grupo sobre ese campo en el que el semigrupo de álgebra asociado viene dado por el diagrama. Esto podría ser agradable/fácil/buena fuente de contraejemplos para usar.