Es sencillo describir todos los automorfismos de $R=k[[x,y]]$ como $k$ -álgebra. En primer lugar, obsérvese que $R$ es un anillo local con ideal máximo $m=(x,y)$ por lo que cualquier automorfismo debe mapear $m$ a sí mismo y así ser continuo en el $m$ -topología adica. Dado que $k[x,y]$ es denso en $R$ en el $m$ -Esto significa que un automorfismo está determinado por el lugar al que envía $x$ y $y$ . Además, teniendo en cuenta $f,g\in m$ existe un único $k$ -homomorfismo de álgebra $\varphi:R\to R$ tal que $\varphi(x)=f$ y $\varphi(y)=g$ (dada por la "evaluación" de la serie de potencias mediante la inserción de $f$ para $x$ y $g$ para $y$ ). Así que la única pregunta es qué condiciones en $f$ y $g$ garantía de que esta $\varphi$ es un automorfismo.
La respuesta es sencilla: sólo necesitas las imágenes de $f$ y $g$ en el $k$ -espacio vectorial $m/m^2$ sean linealmente independientes. Concretamente, esto significa que las partes lineales homogéneas de $f$ y $g$ son linealmente independientes. Es evidente que esta condición es necesaria, ya que las imágenes de $x$ y $y$ en $m/m^2$ son linealmente independientes. A la inversa, si las partes lineales homogéneas de $f$ y $g$ son linealmente independientes, es fácil demostrar que $\varphi$ es suryectiva (para cualquier polinomio homogéneo $p$ de grado $n$ se puede encontrar un polinomio homogéneo $q$ de grado $n$ tal que $p$ es el grado $n$ parte de $\varphi(q)$ y entonces puedes usar esto para construir una serie de potencias cuya imagen bajo $\varphi$ tiene cualquier valor deseado, un grado cada vez). Un homomorfismo suryectivo de un anillo noetheriano a sí mismo es automáticamente inyectivo, por lo que se deduce que $\varphi$ es un automorfismo.
Por tanto, los automorfismos de $R$ están en biyección con pares de series de potencias sin término constante cuyas partes lineales son linealmente independientes. Hay que tener en cuenta que la operación de grupo es muy complicada a partir de esta descripción: para componer dos automorfismos, hay que componer las series de potencias (es decir, sustituir las series de potencias de un automorfismo por las variables $x$ y $y$ en la serie de potencias del otro automorfismo).