¿Cómo demostrar que pares de funciones son del mismo orden?

Question

Si tenemos estos pares de funciones, ¿cómo podemos demostrar que son de la misma orden?

a) $3x + 7,\quad x$

b) $2x^2 + x 7,\quad x^2$

c) $\lfloor x + 1/2\rfloor ,\quad x$

d) $\log(x^2 + 1),\quad \log_2 x$

e) $\log_{10} x,\quad \log_2 x$

Gracias, chicos.

Answer 1

Quiere demostrar que $\dfrac f g \to K$ como $x\to\infty$ donde $K\neq 0$ es una constante. Para los polinomios, esto es casi inmediato. Para los logaritmos, puede utilizar L'Hôpital.

Answer 2

Mi interpretación de la afirmación de que $f$ y $g$ son del mismo orden es que $f=\Theta(g)$ como $x\to\infty$ . Por definición, esto significa que hay $x_0,c_1,c_2>0$ tal que

$$c_1g(x)\le f(x)\le c_2g(x)\quad\text{for all }x\ge x_0\;.$$

Por supuesto, esto equivale a

$$c_1\le\frac{f(x)}{g(x)}\le c_2\quad\text{for all }x\ge x_0\;.$$

Esto es más débil que decir que $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ se aproxima a un límite positivo a medida que $x\to\infty$ como puede verse considerando las funciones $f(x)=100+\sin x$ y $g(x)=100$ . Sin embargo, todos los pares de la pregunta cumplen el requisito más estricto, aunque puede costar un poco verlo en (c):

$$x\le\left\lfloor x+\frac12\right\rfloor\le x+1\;,$$

así que

$$1\le\frac{\left\lfloor x+\frac12\right\rfloor}x\le1+\frac1x\;,$$

y $$\lim_{x\to\infty}\frac{\left\lfloor x+\frac12\right\rfloor}x=1\;.$$

Para los pares en los que intervienen logaritmos, recuerda que $\log_ax=\dfrac{\log_bx}{\log_ba}$ .