Detalle en Expectativa condicional sobre más de una variable aleatoria

Question

Tengo $E(X|Y,Z)=0$ , $X$ independiente de $Y$ y de $Z$ y quiero concluir que $E(X)=0$ ( $X,Y,Z$ son variables aleatorias de valor real). Vale parece bastante obvio, pero si intento hacer una argumentación estricta me falta un paso.

Intenté enfocar esto desde ambos lados:

• De la independencia se deduce que $X$ es independiente de $\sigma(Y) \cup \sigma(Z)$ .

• La primera expresión es, más exactamente $=E(X| \sigma(Y,Z))$ . $\sigma(Y,Z)=\sigma(\sigma(Y) \cup \sigma(Z))$ .

Se sabe que, en general $\sigma(\mathcal{A} \cup \mathcal{B}) \neq \mathcal{A} \cup \mathcal{B} (*)$ para $\sigma$ -algebras $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ . Pregunta: ¿Cómo puedo concluir $E(X)=0$ de todos modos ?

Tal vez para variables aleatorias independientes la igualdad $(*)$ ¿se mantiene? ¿O tal vez exista una expresión alternativa más conveniente para las expectativas condicionales de más de una variable aleatoria?

Answer 1

Desarrollando el comentario de Didier Piau. Ni siquiera hace falta una independencia, ya que se trata simplemente de una "regla de la torre": $$ \mathsf E[\mathsf E[X|\mathcal F]] = \mathsf EX $$ bajo algunas condiciones de integrabilidad. En tu caso simple por la definición de la expectativa condicional tienes $$ \mathsf E[\eta\cdot \mathbf 1_A] = \mathsf E[X \mathbf 1_A] $$ si $A\in \sigma(Y,Z)$ . Aquí $\eta = \mathsf E [X|Y,Z]$ .

Usted sabe por la definición de $\sigma$ -que $\Omega\in \sigma(Y,Z)$ así que $\mathbf 1_\Omega = 1$ y tienes $$ 0 = \mathsf E[\eta] = \mathsf E[X] $$

Editado: respondiendo a tu último comentario. En primer lugar, un ejemplo que justifica tu intuición. Sea $$ X = \begin{cases}1,\quad p=0.5,\\ 0,\quad p = 0.5.\end{cases} $$ y $A\subset\Omega = \{X = 0\}$ , $\mathsf P(A) = 0.5$ . Por la definición de expectativa condicional tenemos $$ \mathsf E[X|A] = \int\limits_\Omega X(\omega)\mathsf P(d\omega|A) = \frac{1}{\mathsf P(A)}\int\limits_A X(\omega)\mathsf P(d\omega) = 0 $$ mientras que $\mathsf E[X] = 0.5$ .

Por otro lado, consideremos la variable aleatoria $\xi = \mathbf 1_A$ . Claramente, $\mathcal F_\xi = \{\emptyset,A,A^c,\Omega\}$ y te gustaría tener el mismo resultado que antes. Pero hay una pequeña diferencia. $$ \mathsf E[X\mid\mathcal F_\xi] = 1-\xi $$ y no podemos decir que $1-\xi = 0 \quad\mathsf P$ -a.s. Así no tienes eso $\mathsf E[X] = \mathsf E[X\mid\mathcal F_\xi] = 0$ .

A grandes rasgos, la condición $\mathsf E[X\mid \mathcal F_\xi] = 0$ dice que mantendrá independientemente del valor de $\xi$ - por lo que en todos los casos que puedan caracterizarse por $\xi$ .

Answer 2

Véase ley de la expectativa total : $$ E(E(X \mid Y)) = E(X). $$ Así que ya está.