Para un módulo libre finitamente generado $M$ el mapa canónico $i: M\to M^{**}$ es un isomorfismo. Conozco un ejemplo de módulo finitamente generado para el que este mapa no es inyectivo. El mapa tampoco es suryectivo, por ejemplo, para $M=l_\infty$ que es un espacio vectorial de dimensión infinita. Pero, ¿existe un módulo finitamente generado sobre algún anillo (preferiblemente conmutativo) para el que este mapa no sea suryectivo?
Respuesta
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Sea $k$ sea un campo y $R=k[x,y]$ y que $M$ sea el ideal $(x,y)\subset R$ . Tenga en cuenta que $M^*\cong R$ dado cualquier $r\in R$ tenemos un homomorfismo $f:M\to R$ dada por $f(x)=rx$ y $f(y)=ry$ y todo homomorfismo $M\to R$ tiene esta forma (ya que debemos tener $yf(x)=xf(y)$ y así $f(x)$ es divisible por $x$ y podemos tomar $r=f(x)/x$ ). Así, $M^{**}\cong R$ . Además, el mapa canónico $M\to M^{**}\cong R$ es sólo el mapa de inclusión $M\to R$ que no es suryectiva.
Otro ejemplo $R=k[x,y]/(x^2,xy,y^2)$ y que $M=R/(x,y)$ (así $M$ es $k$ con $x$ y $y$ actuando como $0$ ). Entonces $M^*\cong M^2$ ya que un homomorfismo $M\to R$ puede asignar un generador de $M$ a cualquier $k$ -combinación lineal de $x$ y $y$ . Así pues, tenemos $M^{**}\cong(M^2)^*\cong M^4$ y el mapa canónico $M\to M^{**}$ no puede ser suryectiva ya que $M$ es $1$ -sobre $k$ y $M^{**}$ es $4$ -dimensional.
