Demostrar que el residuo cuadrático $\mod p \rightarrow$ Residuo cuadrático $\mod p^n$

Question

Supongamos que $x^2 = a \mod p$ tiene solución. Demuestre que $x^2 = a \mod p^n$ tiene solución.

Escriba a $p, p^n$ en productos de primera potencia, digamos $p = \prod_{i=1}^s q_i^{r_i}$ y $p^n = \prod_{i=1}^s q_i^{nr_i}$ . Porque $p | x^2 - a$ sólo si $q_i^{r_i} | x^2 - a$ para cada $i \in \{ \, 1, 2 \ldots s \, \}$ podemos tomar $p$ sea una primera potencia, digamos $q = q^r$ . De ello se deduce que $q | x^2 - a$ . Por lo tanto, no hay pérdida de generalidad en suponer que $p$ es primo.

Después de muchas pruebas y errores, esto es lo que se me ocurrió:

$$\begin{eqnarray*} (x^2 - a)^{p^n} & = &\sum_{k=0}^{p^n} \binom{p^n}{k} (x^2)^{p^n-k}(-a)^k \\ & = & (x^2)^{p^n} + (-a)^{p^n} \\ & = & (x^2)^{p^n} - a^{p^n} \\ & = & (x^2 - a)Q(x^2, a) & = & 0 \mod p^n \end{eqnarray*}$$

Sé que la prueba es WRONG porque los términos medios no siempre son divisibles por $p^n$ . Mi pregunta es ¿cómo encuentro el exponente adecuado para que desaparezcan los términos medios?

Answer 1

Si $p$ es un primo impar, $a\in\mathbb Z$ , $p\nmid a$ entonces si $x^2\equiv a\pmod{p}$ es resoluble, entonces $x^2\equiv a\pmod{p^n}$ es resoluble para todo $n\in\mathbb Z^+$ .

(algunos contraejemplos si $p=2$ o $p\mid a$ : $x^2\equiv 3\pmod{2}$ tiene solución, $x^2\equiv 3\pmod{4}$ no lo es. $x^2\equiv 3\pmod{3}$ tiene solución, $x^2\equiv 3\pmod{9}$ no lo es).

Prueba: Sugerencia: véase Modular inversa Aviso $\gcd(2x,p)=1$ y

$$(x^2-a)^2=(x^2+a)^2-a(2x)^2$$

Answer 2

Supongamos que $p$ es un primo impar que no divide $a$ y hemos encontrado una solución $c$ de $x^2\equiv a\pmod{p^k}$ . Mostramos cómo ascensor la solución a una solución de $x^2\equiv a\pmod{p^{k+1}}$ . Busca una solución de la forma $x=c+tp^k$ .

Elevando al cuadrado obtenemos $c^2+2ctp^k+t^2p^{2k}\equiv a\pmod{p^2}$ . Así que queremos $$2tp^k\equiv a-c^2\pmod{p^{k+1}}.$$ Pero sabemos que $a-c^2$ es divisible por $p^k$ . Digamos que es $dp^k$ . La división de ambos lados por $p^k$ nos encontramos con que queremos $$2ct\equiv d\pmod{p}.\tag{1}$$ Desde $p$ es impar, tenemos $2c\not\equiv 0\pmod{p}$ . De ello se deduce que la congruencia (1) tiene solución $t$ . Así, a partir de una solución mod $p^k$ hemos producido una solución mod $p^{k+1}$ . Por último, pasamos de $k=1$ hasta $n$ .

Observación: Para más información, consulte Elevación Hensel .