Campo de división de $x^m - 1$ en $\mathbb F_p$

Question

Necesito encontrar el campo de división de un polinomio $ x^m-1 \in\mathbb{F}_p[x] $ .

Sé que si $ \gcd(m,p)=1 $ entonces el campo de división es $\mathbb{F}_p(z)$ donde $ z $ es raíz primitiva de unidad de orden $ m $ . Mi pregunta es qué hacer si $ \gcd(m,p) \ne 1 $ . ¿Cómo puedo encontrar entonces el campo de división?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

El caso general se reduce a aquél en el que $m$ y $p$ son coprimos observando que si no lo son, entonces $m$ es en realidad un múltiplo de $p$ y utilizamos la identidad $x^{np} - 1 = (x^n - 1)^p$ que se cumple ya que la característica es $p$ .

Por escrito $m = np^k$ para $n < p$ e iterando lo anterior, obtenemos que $x^m - 1$ es sólo una potencia de $x^n - 1$ por lo que tienen el mismo campo de división.