Encuentre una base para V para $V=\{( x_1 , ... , x_n) \in K^n \mid x_1 +...+x_n =0\}$ .

Question

Quiero encontrar una base para el conjunto $V$ , $V=\{( x_1 , ... , x_n) \in K^n \mid x_1 +...+x_n =0\}$ .

¿Podría alguien explicar la solución de la forma más simplista posible?

Pensé que la respuesta es sólo el conjunto de ${e_1 ,..., e_n}$ pero no lo es.

Answer 1

$x_n = -x_1 - x_2 ..- x_{n-1}$ . Así:

$$(x_1,x_2,...,x_n) = (x_1,x_2, \dots,x_{n-1}, -x_1 - x_2...- x_{n-1})$$ $$= x_1(1,0,...,0,-1) + x_2(0,1,...,0,-1) + ....+ x_{n-1}(0,0,...,1,-1)$$

A partir de aquí podemos "ver" la base:

$\mathcal{B} = \{b_1,b_2,...,b_{n-1}\}$ con $b_k = (0,0,...,1,0,...,0,-1)$ con el $1$ está en el $k$ -Enésima posición.

Answer 2

Para facilitar las cosas hazlo para n=2,3,4;

para n=3; $x_1+x_2+x_3=0$

$\rightarrow x_3=-(x_1+x_2)$

por lo que la base pasa a ser $\{(1,0,-1),(0,1,-1)\}$

Para n=4,tratar de la misma manera La base es $\{(1.0,0,-1),(0,1,0,-1),(0,0,1,-1)\}$

Así, en su caso, la base es $B=\{b_1,b_2,....b_{n-1}\}$

donde $b_k=(0,0,0....1,0,0,....-1)$ donde 1 está en el $k^{th}$ posición.