Diferencia entre una "teoría" en lógica y «un sistema de axiomas»

Question

En lógica, una $\Sigma$-teoría de la $T$ es sólo un conjunto de oraciones obtenidos a partir de la firma de $\Sigma$. Como yo lo entiendo, lo lógico llama "teoría" es lo que un matemático llama "sistema de axiomas". Pero lo que un matemático llama "teoría" es el conjunto de todas las sentencias, que puede ser comprobada por el sistema de axiomas.

Mis preguntas son: 1) ¿Es correcto lo que he dicho antes ? 2) ¿hay un nombre especial que los lógicos uso/se usa en la lógica, para designar el conjunto de todas las sentencias que puede ser demostrado a partir de (en la lógica-hablar) una teoría/(en matemáticas hablar) sistema de axiomas ?

Answer 1

Esto puede ayudar a aclarar el problema con los "axiomas" observando cómo el significado de esa palabra ha cambiado. En Euclid los Elementos, y por mucho tiempo después de eso, un "axioma" o "postulado" no era sólo de la sentencia: un axioma tuvo que ser obviamente cierto y evidente, por lo que no se necesitaban pruebas. En este sentido tradicional, la negación del postulado paralelo no califican como una "axioma", porque no es obviamente cierto. Por ejemplo, el alboroto sobre el postulado paralelo comenzó porque no estaba claro que el postulado paralelo era lo suficientemente evidente.

En la moderna lógica, nos preocupamos mucho menos acerca de la "auto-evidente" requisito [1]. Cuando estamos trabajando en completar la generalidad, $S$ de las sentencias puede ser considerado como un conjunto de axiomas. El conjunto de todas las sentencias que se puede deducir de $S$ a continuación, es el deductivo de cierre de $S$. Con este reductora significado de "axioma", ya no hay mucha diferencia entre una teoría y un conjunto de axiomas. Podríamos considerar que cada frase en la teoría para ser un axioma, por ejemplo, mientras que Euclides no aceptaría cada declaración comprobable forma sus postulados como un postulado.

La palabra "teoría", como matt dice en su respuesta, se utiliza de varias maneras. A veces se usa para indicar un resultado cerrado conjunto de oraciones, y a veces se utiliza para referirse a cualquier conjunto de oraciones, que también podría ser llamado un conjunto de axiomas. En la mayoría de los ajustes, se puede sustituir un conjunto de axiomas con su (único) deductivo de cierre cuando sea necesario, de modo que la diferencia entre las dos convenciones no es muy sustancial.

Hay uno más en el significado de "teoría" quiero señalar. He mencionado las teorías que se generan al tomar el deductivo de cierre de un conjunto de oraciones que son tratados como axiomas. Otra manera de formar una teoría es tomar alguna clase de estructuras semánticas, en la misma firma y, a continuación, forman el conjunto de todos los enunciados que son verdaderos en todas las estructuras de la clase. Por ejemplo, uno puede formar la "teoría de abelian grupos" y la "teoría de la recta real". Tales teorías siempre será deductiva cerrado. La diferencia aquí es que no comenzamos con un conjunto de axiomas.

[1] Nosotros no se preocupe acerca de la auto-evidencia cuando estamos tratando de justificar fundacional de la teoría ZFC. Y los axiomas asumimos que a menudo son obviamente cierto, en cuyo caso no hay ningún problema. Pero también tenemos en axiomas como el axioma de determinación, que es disprovable en ZFC. Algunos de los usos tradicionales sigue siendo, pero sólo en ciertos contextos.

Answer 2

El hecho es que el significado del término teoría varía dentro de la lógica matemática, y diferentes lógicos, y la lógica de los textos de definir este término de manera diferente. Algunos dicen que una teoría es un conjunto de oraciones, otros insisten en que se deductivamente cerrado. Usted pidió un poco de notación, y he visto varias formas de designar el deductivo de cierre de un conjunto $T$ de la pena, $\text{Cons}(T)$ "conseqeuences" y también se $\text{Thm}(T)$ "los teoremas de $T$".

Ninguno de los conceptos principales que se aplican a las teorías dependen de la diferencia, y los lógicos son generalmente felices para pasar de una definición a otra (por ejemplo, en una conferencia) con facilidad.

• Una teoría de la $T$ es completa si $T\vdash\varphi$ o $T\vdash\neg\varphi$ por cada $\varphi$.

• Una teoría de la $T$ es consistente si no derivar una contradicción.

• Una teoría de la $T$ es válido si hay un modelo de $M\models T$.

• Una teoría de la $T$ es finitely axiomatizable si hay un conjunto finito $T_0$ derivable de $T$ que también demuestra todos los de $T$. (Uno puede suponer sin pérdida de ese $T_0\subset T$.)

• Una teoría de la $T$ es computably axiomatizable si hay un computably decidable conjunto de axiomas $T_0$ derivable de $T$ que también demuestra todos los de $T$. (Por una observación interesante de Craig, esto es equivalente a la afirmación de que el conjunto de los teoremas de $T$ es c.e., o que $T$ tiene un c.e. conjunto de axiomas.)

Todas las propiedades anteriores funcionan para cualquier concepto de la teoría, ya sea como un conjunto de oraciones o un resultado cerrado conjunto de oraciones. Una de las diferencias sutiles surge con el último punto (computable axiomatizability), ya que si se tiene el conjunto de oraciones comprensión de la teoría, entonces usted no necesariamente puede asumir que $T_0\subset T$.

Permítanme mencionar también otro problema similar, a saber, que en el uso común, como contraposición a la definición formal, muchos de los lógicos, utilice el término"*teoría" significa "de acuerdo a la teoría".

(Por último, me gustaría segundo User6312 comentarios opuestos a la casual de exclusión en la cuestión de la lógica de las matemáticas. )

Answer 3

Las dos definiciones están flotando alrededor, incluso dentro de la lógica. Algunos autores sólo decir que cualquier conjunto de oraciones es una teoría; algunos requieren ser cerrado bajo deducción / semántica de consecuencia.

Normalmente no importa, ya que, por ejemplo, si $T$ es un conjunto de oraciones y $T\models \phi$, entonces (ejercicio) para cada frase $\psi$, $T\models \psi$ si y sólo si $T\cup \{\phi\}\models \psi$.

La distinción más importante con respecto a las teorías que contienen o no contienen frases es entre una completa e incompleta teorías (aunque, dependiendo de cómo se definen las teorías, puede ver completa teorías se define en términos de la deducción o de la contención).

Answer 4

La relación entre el lógico y matemático tiene precisamente el mismo carácter que la relación entre analista funcional y matemático: es un caso especial. Más precisamente, un matemático es un lógico cuando la (s)que está haciendo la lógica. La misma persona puede escribir artículos que tienen un tema diferente clasificación.

Y una teoría, en la lógica de primer orden, de todos modos, es un resultado cerrado conjunto de oraciones. Este apenas es necesario decir, puesto que si se matemáticos noción de teoría, entonces es un matemático (y, por tanto, lógico) consecuencia del hecho de que un lógico es un matemático.

Agregado, de la evidencia: se habla de una teoría de ser finitely axiomatizable. Seguramente esto no significa que un conjunto de axiomas es finitely axiomatizable. Hay un número de ejemplos de este carácter general.

También, a veces la discusión sobre alternativas axiomatizations, de, por ejemplo, la teoría de grupos. Esto apoya la noción de que la teoría de los grupos, nos referimos a que el cuerpo de teoremas.

Cuando hablamos de modelo de integridad, o la integridad de ciertas teorías, que no necesariamente tienen un conjunto específico de axiomas en mente, ya que axiomatizations diferentes.