Solución de una integral que contiene vectores

Question

Actualmente estoy intentando resolver la integral: $$ I(\vec{a},\vec{b})=4\pi\int\limits_0^1\frac{\mathrm{d}u}{1-(\vec{a}u+\vec{b}(1-u))^2}, $$ pero no encuentro un buen punto de partida. Sé que si $\vec{a}$ y $\vec{b}$ son escalares esta integral se resolvería fácilmente mediante una descomposición en fracciones parciales (donde la relación $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ es realmente útil), dando una respuesta en términos del logaritmo natural.

Sin embargo, ahora mismo estoy atascado con una relación vectorial, lo que no facilita los cálculos. He probado la descomposición en fracciones parciales, esto no facilita las cosas. También he intentado escribir el denominador, pero esto tampoco ayuda mucho.

Me preguntaba si hay formas generales de abordar este tipo de problemas y/o si hay algún consejo para esta integral ?

Los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ son tridimensionales, esto puede verse, por ejemplo, en el hecho de que el factor $4\pi$ se deduce del ángulo sólido 3D $$ 4\pi=\int\limits_0^{2\pi}\mathrm{d}\varphi\int\limits_{0}^\pi\sin(\theta)\mathrm{d}\theta. $$

Answer 1

Como has dicho, las integrales se abordan mejor con escalares. Por lo tanto, la forma más sencilla de resolver este tipo de problemas (a menos que haya alguna otra propiedad geométrica de los vectores que lo haga más fácil) es tratar con los componentes individuales. En lugar de $\vec a$ y $\vec b$ tratar con $a_x, a_y, b_x, b_y$ . Entonces tenemos $$(\vec a u + \vec b(1-u))^2 = (a_x u+b_x(1-u),a_y u+b_y(1-u))^2 = b_x^2 + b_y^2 + 2(a_x b_x - b_x^2 + a_y b_y - b_y^2) u + (a_x^2 + a_y^2 - 2 a_x b_x + b_x^2 - 2 a_y b_y + b_y^2) u^2$$ Que es desde la perspectiva de $u$ , la variable que estamos integrando sólo una cuadrática. Así que la integral se convierte en $$\int \frac{du}{(1-b_x^2+b_y^2) + 2(b_x^2 + b_y^2 - a_x b_x - a_y b_y) u + (2 a_x b_x + 2 a_y b_y - b_x^2 - b_y^2 - a_x^2 - a_y^2 ) u^2}$$ o quizás más sucintamente (y geométricamente) $$\int \frac{du}{(1-|b|^2) + 2(|b|^2-a\cdot b)u + (2a\cdot b-|b|^2-|a|^2)u^2}$$ A continuación, puede aplicar ese $$\int_0^1 \frac{du}{x + y u + z u^2} = \frac{2\left(\arctan\left(\frac{y+2z}{\sqrt{4xz-y^2}}\right)-\arctan\left(\frac{y}{\sqrt{4xz-y^2}}\right)\right)}{\sqrt{4xz-y^2}}$$ e introduzca esos valores para $x, y, z$ para conseguir tu integral.

Answer 2

Primero escriba su norma $F(u) = \left\Vert u \vec{a} u + (1-u)\vec{b}\right\Vert^2$ en forma de cuártico en $u$ como $A u^2 + B u + C$ (Utilice la expresión de vectores $\vec{a}$ , $\vec{b}$ en coordenadas ortogonales si es necesario). Entonces debería ser sencillo (existe un método general bien conocido para integrar $1/\mathrm{quartic}$ ).