¿Por qué los morfismos de las categorías de monos de una categoría son pullbacks?

Question

Sea $C$ sea una categoría y $Mono\left( C\right)$ la categoría que tiene: $Ob \left(mono\left(C\right)\right)=\left\{u: ux_1=ux_2 \implies x_1 =x_2\right\}$

$mono\left(C\right)\left(u,v\right)=\left\{(a,b):va \square bu \right\}$ donde la notación cuadrado dice que el cuadrado obvio es pull-back. Es $Mono\left( C\right)$ una subcategoría completa de $C^{\rightarrow}$ (la categoría flecha), es decir, ¿es necesaria la propiedad pullback de los morfismos entre dos monomorfismos?

Answer 1

La categoría a la que llama $\mathbf{Mono}(\mathbf{C})$ no es (normalmente) una subcategoría completa de $\mathbf{C}^\to$ Un contraejemplo fácil es tomar cualquier cuadrado de retroceso y sustituir su esquina por un subobjeto adecuado.

Para ser explícitos, supongamos $f:A \to B$ es mónico. Entonces

$$\begin{matrix} A &\to& B \\ \downarrow & & \downarrow \\ B &\to& B \end{matrix}$$

es un morfismo en $\mathbf{C}^\to$ de $f$ à $1_B$ .