¿Es correcta mi siguiente demostración de la continuidad de una función biyectiva monótona creciente?

Question

Sea $f: A \to B$ sea una función donde $A$ y $B$ son intervalos en $\mathbb{R}$ . Quería demostrar que si $f$ es biyectiva y (estrictamente) monotónica creciente, $f$ también es continua para cada $x_0 \in A$ (Sé que toda función biyectiva que es monótona es también estrictamente monótona, pero no lo necesitaba para el problema que tenía que resolver).

En nuestra clase hemos aprendido que $f$ se denomina continua para $x_0 \in A$ si para cada barrio $V$ de $f(x_0)$ existe un barrio $U$ de $x_0$ tal que $f(U) \subseteq V$ . Según la definición de vecindad, existe una bola abierta $V_B \subseteq V$ avec $f(x_0)$ como su centro. Definimos $b := \inf V_B$ y $t := \sup V_B$ . Sea $U := (f^{-1}(b), f^{-1}(t))$ ( $f^{-1}$ existe porque $f$ es biyectiva por definición), entonces obtenemos:

$a \in U \Longleftrightarrow f^{-1}(b) < a < f^{-1}(t) \Longleftrightarrow b < f(a) < t \Longleftrightarrow f(a) \in V_B$ .

Por lo tanto, $U = V_B$ . Esto implica que $U \subseteq V_B \subseteq V$ y por lo tanto sabemos que $U \subseteq V$ .

¿He cometido algún error o esta prueba es correcta? Gracias de antemano por sus comentarios.

Answer 1

Mi siguiente prueba es incorrecto en el caso de que B sea un intervalo abierto, ya que en ese caso si $ B = (c, d)$ y $a \in (c, d) $ entonces $[a, d)$ es cerrado en la topología del subespacio y $f^{-1} (d) \not \in A$ . Dejaré el post aquí mientras lo pienso.

Sea $[a, b]$ sea cualquier intervalo cerrado en $B$ .

Entonces $f^{-1} (a)$ y $f^{-1} (b) \in A$ .

Si $x \in [f^{-1} (a), f^{-1} (b)]$ entonces por monotonicidad $f(x) \in [a, b] \implies f([f^{-1} (a), f^{-1} (b)]) \subset [a, b]$ . Desde $f$ es una biyección, se obtiene $[f^{-1} (a), f^{-1} (b)] \subset f^{-1} [a, b]$ .

Por el contrario, si $y \in [a, b] $ entonces de nuevo por monotonicidad $f^{-1}(y) \in [(f^{-1} (a), f^{-1} (b)] \implies f^{-1} [a, b] \subset [f^{-1} (a), f^{-1} (b)] $

Así que.., $f^{-1} [a, b] = [f^{-1} (a), f^{-1} (b)] $

Es decir, la preimagen de un intervalo cerrado en B es un intervalo cerrado en A por lo que $f$ es continua. (véase http://www.mathcs.org/analysis/reals/cont/topcont.html )

Nota: para cualquier función, si $C \subset D$ entonces $f(C) \subset f(D)$ La condición de biyección es necesaria para decir que $f^{-1}(f(C)) = C$ es decir, en este caso $f^{-1}(f[(f^{-1} (a), f^{-1} (b)])) = [f^{-1} (a), f^{-1} (b)]$

Answer 2

La hipótesis crucial es biyectiva. Si f tiene una discontinuidad de salto en algún punto a entonces el rango de f perdería todos los valores entre los límites izquierdo y derecho en a lo que contradice el hecho de que el rango de f es un intervalo entero. Hacer un dibujo puede ayudar.