Halla el número de raíces de la siguiente ecuación para $|z| < 2$ , $z\in \Bbb C$ : $$ z^2 - \cos z=0 $$
El razonamiento que sigue se basa en el teorema de Rouche. Así que básicamente elegí dos funciones $f(z)$ y $\phi(z)$ tal que: $$ f(z) = z^2\\ \phi(z) = \cos z $$
Ahora tengo que demostrar que $|f(z)| > |\phi(z)|$ para $|z| = 2$ . Mi principal problema aquí es probar esa afirmación.
Considere $|z^2|$ claramente el valor absoluto es $4$ . Para $|\cos z|$ y $y\in[-2,2]$ : $$ \begin{align} |\cos z| &= \left|\frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}\right| \\ &= {1\over 2}\left|e^{ix - y} + e^{-ix+y}\right| \\ &\le {1\over 2}\left(\left|e^{ix}\right|\left|e^{-y}\right| + \left|e^{-ix}\right|\left|e^{y}\right|\right)\\ &={1\over 2}\left(e^{-y}+e^y\right) \end{align} $$
Ahora $|\cos z|$ es simétrica con respecto a $x = 0$ por lo que podríamos considerar sólo un caso: $y \in [0;2]$ . Observa la siguiente ecuación: $$ \begin{align} {1\over 2}\left(e^{-y} + e^y\right) &= 4 \\ e^{-y} + e^y &= 8 \ \ | \times e^y \\ e^{2y} - 8e^y + 1 &= 0 \end{align} $$ Resolver para $e^y$ : $$ e^y = 4\pm \sqrt{15} $$
Cálculos aproximados muestran que: $$ \begin{align} y = \ln(4+\sqrt{15}) &\approx 2,06343... > 2\\ y = \ln(4-\sqrt{15}) &\approx -2,06343... < -2 \end{align} $$
Finalmente desde ${1\over 2}\left(e^{-y}+e^y\right)$ está aumentando para $y \in [0,2]$ tenemos eso: $$ |\cos z| = {1\over 2}\left(e^{-y}+e^y\right) < 4, \forall y\in[0,2] $$
Esto significa que la ecuación tiene dos raíces (con multiplicidades) en $|z| < 2$ .
La cuestión aquí es cómo puedo mostrar $$ \ln(4+\sqrt{15}) > 2\\ \ln(4-\sqrt{15}) < -2 $$ Además, agradecería que alguien mostrara una solución más sencilla.
