Demuestre que la secuencia logística es convergente cuando $2<k\le3$

Question

Sea $0<x_1<1$ , $x_{n+1}=kx_n(1-x_n)$ sea Secuencia logística. Si $2<k\le3$ cómo demostrar que la secuencia siempre converge a $1-1/k$ ?

Edito: Necesito una demostración directa en cálculo sin usar ningún resultado de sistema dinámico.

Answer 1

Los puntos fijos son soluciones de $$x=kx(1-x)$$ que son $x=0$ y $x=1-1/k$

Necesitamos demostrar que el punto fijo $1-1/k$ es un atractor para $2<k<3$

Tomamos la derivada de $f(x)=kx(1-x)$ y demostrar que para el valor dado del punto fijo $|f'(x)|<1$

Tenga en cuenta que $|f'(1-1/k)| = |k-2|$ que es inferior a $1$ para $2<k<3$