¿Cuántas estructuras diferenciables en un grupo de mentiras?

Question

Todo grupo de mentiras es una variedad diferenciable.

¿Cuántas estructuras diferenciables puede haber en un grupo de mentiras?

Por ejemplo $SU(2)$ es difeomorfo a $S^3$ sólo tiene una única estructura diferenciable.

¿Y otros grupos de mentiras?

Para

1. grupo de mentiras compacto, o

2. grupo de mentiras no compacto como $\mathbf{R}^d$ ?

¿limitamos los tipos de estructuras diferenciables especificando las propiedades de los grupos de Lie (compacidad, conectados o simplemente conectados, etc.)?

Edición: Aquí quise decir: "estructuras lisas compatibles con la estructura algebraica dada del álgebra de Lie y del grupo de Lie".

Answer 1

Es un hecho estándar de la teoría de grupos de Lie que si $G_1, G_2$ son grupos de Lie y $f: G_1\to G_2$ es un homomorfismo continuo, entonces $f$ es suave. Véase, por ejemplo, aquí . Si $f$ es también un isomorfismo, entonces $f^{-1}$ también será suave. De esto se concluye que si $G$ es un grupo de Lie, entonces tiene una única estructura lisa compatible con su estructura algebraica y topológica. Más concretamente, si $s_1, s_2$ son estructuras suaves en $G$ (compatible con su estructura algebraica y topológica) entonces el mapa de identidad $(G,s_1)\to (G,s_2)$ es un difeomorfismo.

Para algunas clases de grupos de Lie se puede hacer incluso mejor: Ni siquiera es necesario fijar de antemano la estructura topológica. Esto es válido para todos los grupos de Lie absolutamente simples. Sin embargo, en general, un isomorfismo de grupos de Lie no tiene por qué ser continuo, por ejemplo, el grupo de Lie $({\mathbb R},+)$ admite automorfismos discontinuos.