En $u'_k \to v$ implican débilmente $u_k \to u$ débilmente con $u' = v$ ?

Question

Supongamos que $u'_k \to v$ débilmente donde $u_k \in L^2(\Omega)$ y $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ . Aquí $'$ denota la derivada débil. Entonces, para un $\phi \in C^\infty_c(\Omega)$ , $\langle u_k, \phi' \rangle = - \langle u'_k, \phi \rangle \to - \langle v, \phi \rangle$ . Si podemos deducir que $u_k$ converge débilmente, entonces obtenemos que $u_k' \to v$ implica débilmente $u_k \to u$ débilmente con $u' = v$ . Sin embargo, no estoy seguro de que podamos garantizar la convergencia débil de $u_k$ . ¿Es verdad? He intentado construir un contraejemplo, pero no lo he conseguido.

Answer 1

El ejemplo sugerido por PhoemueX, a saber, $u_k \equiv (-1)^k$ muestra que podemos no tener la convergencia débil de $\left(u_k\right)_{k\geqslant 1}$ (pero una subsecuencia converge a $u$ cuya derivada es $0$ ).

También es posible que ninguna subsecuencia de $\left( u_k\right)_{k\geqslant 1}$ converge débilmente, por ejemplo si $u_k(x)=k$ para todos $x\in\Omega$ .