La solución general de la ecuación diferencial de segundo orden inhomogénea lineal de coeficientes constantes ad2ydx2+bdydx+cy=f(x) se encuentra de la siguiente manera:
- Primero encuentra la función complementaria yc(x), es decir, la solución general de la ecuación homogénea asociada ad2ydx2+bdydx+cy=0.
- Luego encuentra una integral particular yp(x).
- La solución general es entonces yg(x)=yc(x)+yp(x).
Cualquier elección de integral particular da la misma solución general. Las fórmulas obtenidas para la solución general pueden verse diferentes para diferentes elecciones de integral particular, pero en realidad siempre son equivalentes. Como ejemplo, considera d2ydx2+9y=9x+9. Su ecuación homogénea asociada es d2ydx2+9y=0, que tiene la solución yc=Ccos3x+Dsin3x, donde C y D son constantes arbitrarias. Una integral particular es yp=x+1, por lo tanto la solución general es yg=yc+yp=Ccos3x+Dsin3x+x+1. Hubiera sido igualmente válido haber elegido yp=x+1+sin3x como la integral particular. En ese caso, la solución general se habría obtenido como yg=Ccos3x+Dsin3x+x+1+sin3x. Esta forma se ve un poco diferente pero se puede escribir como y=Ccos3x+(D+1)sin3x+x+1; y como C y D son constantes arbitrarias, esta forma de la solución general representa exactamente la misma familia de soluciones.
La misma lógica se aplica a las ecuaciones diferenciales inhomogéneas lineales de coeficientes constantes de primer orden, tercer orden, etc. Las fórmulas obtenidas para la solución general son de hecho equivalentes ya que las diferencias en la elección de las integrales particulares se absorben en los coeficientes arbitrarios representados por la solución general.
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Puedes agregar una solución arbitraria de la ecuación diferencial homogénea a una solución particular de la ecuación diferencial completa/no homogénea para obtener otra solución particular de la ecuación diferencial completa/no homogénea.