Múltiples soluciones de ecuaciones diferenciales no homogéneas

Question

Entiendo que la solución general de una EDO no homogénea es la suma de la solución de la EDO homogénea más una solución particular.

Sin embargo, esto sugiere que puede haber diferentes soluciones particulares para la misma EDO, pero nunca he visto dos soluciones particulares diferentes para la misma EDO. ¿Podrías darme un ejemplo?

Answer 1

La solución general de la ecuación diferencial de segundo orden inhomogénea lineal de coeficientes constantes $$a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=f(x)$$ se encuentra de la siguiente manera:

1. Primero encuentra la función complementaria $y_c(x)$, es decir, la solución general de la ecuación homogénea asociada $$a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=0.$$
2. Luego encuentra una integral particular $y_p(x)$.
3. La solución general es entonces $y_g(x)=y_c(x)+y_p(x)$.

Cualquier elección de integral particular da la misma solución general. Las fórmulas obtenidas para la solución general pueden verse diferentes para diferentes elecciones de integral particular, pero en realidad siempre son equivalentes. Como ejemplo, considera $$\dfrac{d^2y}{dx^2}+9y=9x+9.$$ Su ecuación homogénea asociada es $$\dfrac{d^2y}{dx^2}+9y=0,$$ que tiene la solución $$y_c=C\cos 3x + D\sin 3x,$$ donde $C$ y $D$ son constantes arbitrarias. Una integral particular es $$y_p=x+1,$$ por lo tanto la solución general es $$y_g=y_c+y_p=C\cos 3x + D\sin 3x+x+1.$$ Hubiera sido igualmente válido haber elegido $$y_p = x + 1+\sin3x$$ como la integral particular. En ese caso, la solución general se habría obtenido como $$y_g=C\cos 3x + D\sin 3x+x + 1+\sin3x.$$ Esta forma se ve un poco diferente pero se puede escribir como $$y = C \cos3x + (D + 1)\sin3x + x + 1;$$ y como $C$ y $D$ son constantes arbitrarias, esta forma de la solución general representa exactamente la misma familia de soluciones.

La misma lógica se aplica a las ecuaciones diferenciales inhomogéneas lineales de coeficientes constantes de primer orden, tercer orden, etc. Las fórmulas obtenidas para la solución general son de hecho equivalentes ya que las diferencias en la elección de las integrales particulares se absorben en los coeficientes arbitrarios representados por la solución general.

Answer 2

Tomar $y' = y + 1$. Entonces $y_1 = \mathrm e^x - 1$ es una solución particular, pero también lo es $y_2 = 2\mathrm e^x - 1$.