Sea $W$ sea el grupo de Weyl de cualquiera de las álgebras de Lie clásicas $A_n,B_n,C_n,D_n$ . ¿Qué es el $|W|$ ?
Un cálculo ingenuo sugiere que $$ \begin{aligned} A_n&\colon\ |W|=(n+1)!\\ B_n&\colon\ |W|=2^nn!\\ C_n&\colon\ |W|=2^nn!\\ D_n&\colon\ |W|=2^{n-1}n! \end{aligned} $$ pero no he podido encontrar estas expresiones en ningún sitio, así que me vendría bien la confirmación.
No sólo los órdenes de estos grupos de Weyl son bien conocidos, sino también los propios grupos de Weyl:
$$ W(A_n)=S_{n+1},\; W(B_n)=W(C_n)=\Bbb{Z}_2^n\ltimes S_n, W(D_n)=\Bbb{Z}_2^{n-1}\ltimes S_n. $$
También se conocen los grupos excepcionales de Weyl, pero son más difíciles de describir. $W(G_2)$ es isomorfo al grupo diedro $D_6$ de orden $12$ . $W(F_4)$ es un grupo soluble de orden $1152$ y es isomorfo al grupo ortogonal $O_4(3)$ dejando invariante una forma cuadrática de índice máximo en a $4$ -sobre el campo $\Bbb{F}_3$ . Para $W(E_6),W(E_7)$ véase ici y para $W(E_8)$ véase ici .
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