Para cada número natural $n$ , dejemos que $f_n : [0,1] \to [0,1]$ sea una función continua, y para cada $n$ deje $h_n$ se define por $h_n(x) = \max\{f_1(x),\ldots,f_n(x)\}$ . Demuestre que para cada $n$ la función $h_n$ es continua en $[0,1]$ . ¿Debe la función $h$ definido por $h(x) = \sup\{f_n(x) : n\in\mathbb{N}\}$ ser continua?
He resuelto la primera parte, es decir, el caso finito de esta manera: Sea, para cada $i$ , $f_{n_i}$ sea la función $f_n$ que toma los valores más altos en $[x_i$ , $x_{i-1}[$ . Entonces $h_n=f_{n_i}$ en este intervalo, y por tanto $h_n$ es continua en todos los intervalos abiertos $]x_i$ , $x_{i+1}[$ . Definición de $g_i(x)=f_{n_i}(x)-f_{n_{i-1}}(x)$ tenemos $g_i(x)$ es continua (siendo la suma de funciones continuas), $g_i(x)<0$ para $x_{i-1}<x<x_i$ y $g(x_i)\ge 0$ . Así que, por continuidad, $g(x_i)=0$ y $f_{n_{i-1}}(x_i)=f_{n_i}(x_i)$ . Por lo tanto $h_n(x)$ es continua también en cada $x_i$ por lo que es continua.
Sin embargo, no estoy seguro de si esto cubre también en el caso infinito, que es la segunda parte del problema.
