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¿Tiene esta ecuación funcional una solución de forma cerrada no trivial?

P(cx)=cos(x)P(x)

Para c=2 , P(x)=sin(x)/x es una solución a esto. No sé si hay una forma cerrada solución para c2 .

En lugar de añadir mi propio intento de solución, que es dudoso en el mejor de los casos, añadiré el contexto. He estado tratando de resolver una línea integral bastante impar aquí y terminé con una solución de productos infinitos muy agradable. Robert Israel, puso esta solución en forma de relación de recurrencia. Así que, en un intento de continuar con la persecución del ganso salvaje, estoy persiguiendo una solución para esta relación de recurrencia.

(Aceptaré cualquier solución, siempre que las "funciones especiales" utilizadas no sean tautológicas y tengan un documento de acceso público escrito sobre ellas)

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Cualquier restricción en la gama de c ?

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@SergioParreiras c es cualquier número real mayor que 2. Sin embargo, el comportamiento generalizado, para otros valores, es genial también. No obstante, dada la naturaleza del problema, se podría considerar que c es cualquier número entero mayor o igual que 2, si eso ayuda.

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A ver si entiendo lo que buscas: ¿Buscas una función (P(cx)), tal que tenga la apariencia que tienes arriba, y para c=2 el resultado es la función como se describe en la segunda línea?

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Stavros Puntos 602

Sabemos que c0 , a menos que P(x)=0 para todos x . También c1 ya que en caso contrario tenemos P(x)=cos(x)P(x)cos(x)=1 para todos x .

Si se supone que P puede expresarse como una serie de potencias centrada en el origen (apoyada por el resultado de c=2 ) encontramos:

n=0ancnxn=cos(x)n=0anxn=n=0(1)nx2n(2n)!n=0anxn.

Así, ancn=ni=0aibni donde bi={(1)i/2/(i)!i even0i odd

Al escribir cada serie para comparar los términos se obtiene:

a0+a1cx+a2c2x2+=(1x22!+x44!x66!+)(a0+a1x+a2x2+a3x3+)

Así, a0=a0 que proporciona cierto grado de libertad de elección para a0 . (Tenga en cuenta que Asin(x)/x satisfará P(2x)=cos(x)P(x) también).

Entonces a1c=a1 . Esto significa que c=1 o a1=0 . Como hemos demostrado que c1 tenemos a1=0 .

Siguiendo esta línea nos encontramos con a2c2=a2a02! que da como resultado a2=a02!(c21).

Si continúa este proceso durante a3,a4,... , encontrará que a2n+1=0 para todos n y encontrará expresiones para cada una de ellas a2n en términos de a0 . Podría haber una buena expresión de forma cerrada para a2n pero no me he comprometido a encontrarlo.

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En última instancia, querrá demostrar que la serie de potencias para P(x) converge en alguna región. Supongo que debería tener un radio de convergencia infinito, basándome en la tasa de decaimiento extrapolada de los primeros términos que calculé.

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No es necesario demostrar que la expansión corresponde a una función especial. Si la pregunta es si la expresión P(cx)=cos(x)P(x) tiene una solución, entonces es suficiente demostrar una solución a través de una serie de potencias. Los coeficientes se pueden determinar independientemente de una recursión. Cada a2n puede expresarse como una suma finita de términos, multiplicada por a0 . Simplemente no quería trabajar en ello.

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El título de su pregunta parece contradecirlo: "Esta relación de recurrencia de aspecto inocente parece no tener solución". He proporcionado un medio para determinar una solución. Quizás lo que quieres decir es que no tiene solución en términos de funciones especiales.

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