¿Tiene esta ecuación funcional una solución de forma cerrada no trivial?

Question

$$P(c \cdot x) = \cos(x) P(x)$$

Para $c=2$ , $P(x) = \sin(x)/x$ es una solución a esto. No sé si hay una forma cerrada solución para $c \ne 2$ .

En lugar de añadir mi propio intento de solución, que es dudoso en el mejor de los casos, añadiré el contexto. He estado tratando de resolver una línea integral bastante impar aquí y terminé con una solución de productos infinitos muy agradable. Robert Israel, puso esta solución en forma de relación de recurrencia. Así que, en un intento de continuar con la persecución del ganso salvaje, estoy persiguiendo una solución para esta relación de recurrencia.

(Aceptaré cualquier solución, siempre que las "funciones especiales" utilizadas no sean tautológicas y tengan un documento de acceso público escrito sobre ellas)

Answer 1

Sabemos que $c \neq 0$ , a menos que $P(x) = 0$ para todos $x$ . También $c\neq 1$ ya que en caso contrario tenemos $P(x)=\cos(x)P(x) \implies \cos(x) =1$ para todos $x$ .

Si se supone que $P$ puede expresarse como una serie de potencias centrada en el origen (apoyada por el resultado de $c=2$ ) encontramos:

$$\sum_{n=0}^\infty a_n c^n x^n = \cos(x) \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} \sum_{n=0}^\infty a_n x^n.$$

Así, $$a_n c^n = \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}$$ donde $$b_{i} = \left\{ \begin{array}{cc} (-1)^{i/2}/(i)! & i \text{ even}\\ 0 & i \text{ odd}\end{array}\right.$$

Al escribir cada serie para comparar los términos se obtiene:

$$a_0 + a_1cx+a_2c^2x^2+\cdots = \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots\right) \left( a_0 + a_1x + a_2x^2 +a_3 x^3 + \cdots \right)$$

Así, $a_0 = a_0$ que proporciona cierto grado de libertad de elección para $a_0$ . (Tenga en cuenta que $A\sin(x)/x$ satisfará $P(2x)=\cos(x)P(x)$ también).

Entonces $a_1 c = a_1$ . Esto significa que $c=1$ o $a_1=0$ . Como hemos demostrado que $c\neq 1$ tenemos $a_1=0$ .

Siguiendo esta línea nos encontramos con $$a_2 c^2 = a_2 - \frac{a_0}{2!}$$ que da como resultado $$a_2 = \frac{-a_0}{2!(c^2-1)}.$$

Si continúa este proceso durante $a_3, a_4,...$ , encontrará que $a_{2n+1}=0$ para todos $n$ y encontrará expresiones para cada una de ellas $a_{2n}$ en términos de $a_0$ . Podría haber una buena expresión de forma cerrada para $a_{2n}$ pero no me he comprometido a encontrarlo.