La trigonometría para el 24 de energía

Question

¿Cómo puedo encontrar el valor de $$\sin^{24}\frac{\pi}{24} + \cos^{24}\frac{\pi}{24}$$ Específicamente, ¿hay algún método fácil que yo soy vistas?

Answer 1

Me gustaría uso de exponenciales complejas. Tenemos: \begin{align} \sin^{24}\frac{\pi}{24}+\cos^{24}\frac{\pi}{24}&= \left(\frac{e^{i\frac{\pi}{24}}-e^{-i\frac{\pi}{24}}}{2}\right)^{24} +\left(\frac{e^{i\frac{\pi}{24}}+e^{-i\frac{\pi}{24}}}{2}\right)^{24}\\ &=\frac{1}{2^{24}}\a la izquierda(\sum_{k=0}^{24}\binom{24}{k} (-1)^k e^{i \frac{24-2k}{24}\pi}\right) +\frac{1}{2^{24}}\a la izquierda(\sum_{k=0}^{24}\binom{24}{k} e^{i \frac{24-2k}{24}\pi}\right)\\ &= \frac{1}{2^{23}}\sum_{i=0}^{12} \binom{24}{2l} e^{i \frac{12 - 2l}{12}\pi} \end{align} después de cancelar todos los demás término en la suma de dos. Podemos reescribir esta última expresión en términos de funciones trigonométricas de nuevo, como $$ \frac{1}{2^{22}} \a la izquierda(\sum_{m=0}^{5} \binom{24}{2m} \cos \left(\pi\frac{m\pi}{6}\right) + \frac{1}{2} \binom{24}{12}\right) $$ (aquí estamos de plegamiento de la suma por la mitad y tomar ventaja del hecho de que $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$, es por eso que el término medio es anómala).

Ahora, como $\cos x=-\cos(\pi - x)$, esto se derrumba a un número razonable de términos: $$ \frac{1}{2^{22}}\left[\frac{1}{2}\binom{24}{12} - 1 + \left(\binom{24}{10} - \binom{24}{2}\right) \cos \frac{\pi}{6} + \left(\binom{24}{8} - \binom{24}{4}\right) \cos \frac{\pi}{3} \right] $$ lo que simplifica en $$ \frac{1}{2^{22}} \left(\frac{3428999}{2} + 1960980\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =\frac{3428999 + 1960980 \sqrt{3}}{2^{23}} $$

Answer 2

Vamos a: $$ a_n = \sin^{2n}\frac{\pi}{24}+\cos^{2n}\frac{\pi}{24}.\la etiqueta{1}$$ Entonces trivialmente $a_0=2,a_1=1$ y: $$ a_n - a_1 a_{n-1} = -\left(\sin^2\frac{\pi}{24}\cos^2\frac{\pi}{24}\right) a_{n-2}\etiqueta{2} $$ de modo que $a_{12}$ puede ser calculado en unos pocos pasos a través de la recurrencia: $$ a_n = a_{n-1}-\frac{2-\sqrt{3}}{16} a_{n-2}.\la etiqueta{3}$$

Answer 3

Primera nota de que esta es la solución más sencilla que conozco. Puede o no puede ser la más simple. Edit: Se puede tomar de Micah camino para una solución más simple.

Sabemos que: $$\cos{\frac{\pi}{6}} = \frac {\sqrt{3}}{2}\quad \Rightarrow 2\cos^2{\frac{\pi}{12}} - 1 = \frac {\sqrt{3}}{2}$$ $$\Rightarrow 2(2\cos^2{\frac{\pi}{24}} -1)^2 - 1= \frac {\sqrt{3}}{2}$$ $$\Rightarrow 8\cos^4{\frac{\pi}{24}}-8\cos^2{\frac{\pi}{24}} + 1 = \frac {\sqrt{3}}{2} $$ $$\Rightarrow 16\cos^4{\frac{\pi}{24}}-16\cos^2{\frac{\pi}{24}} + 2 - \sqrt{3} = 0 $$ $$\Rightarrow \cos^2{\frac{\pi}{24}} = \frac {2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}{4}\quad \Rightarrow \sin^2{\frac{\pi}{24}} = \frac {2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}{4} $$ Ahora, $$\sin^{24}{\frac{\pi}{24}} + \cos^{24}{\frac{\pi}{24}} = (\sin^2{\frac{\pi}{24}})^{12} + (\cos^2{\frac{\pi}{24}})^{12}$$ $$= \left( \frac {2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}{4}\right)^{12} + \left( \frac {2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}{4}\right)^{12} $$ $$= \dfrac{1}{4^{12}} \a la izquierda[ \left( 2-\sqrt{2+\sqrt{3}} \right)^{12} + \left( 2+\sqrt{2+\sqrt{3}} \right)^{12} \right] $$ $$= \dfrac{2}{4^{12}} \a la izquierda[ 2^{12} + \begin{pmatrix} 12 \\ 2 \end{pmatrix} (2^{10}) (\sqrt{2+\sqrt{3}})^{2} + \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix} (2^{8}) (\sqrt{2+\sqrt{3}})^{4} \\ \quad +\begin{pmatrix} 12 \\ 6 \end{pmatrix} (2^{6}) (\sqrt{2+\sqrt{3}})^{6} + \begin{pmatrix} 12 \\ 8 \end{pmatrix} (2^{4}) (\sqrt{2+\sqrt{3}})^{8} \\ \quad + \begin{pmatrix} 12 \\ 10 \end{pmatrix} (2^{2}) (\sqrt{2+\sqrt{3}})^{10} + \begin{pmatrix} 12 \\ 12 \end{pmatrix} (\sqrt{2+\sqrt{3}})^{12} \a la derecha] $$ $$= \dfrac{2}{4^{12}} \a la izquierda[ 2^{12} + \begin{pmatrix} 12 \\ 2 \end{pmatrix} (2^{10}) (2+\sqrt{3}) + \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix} (2^{8}) (2+\sqrt{3})^{2} \\ \quad +\begin{pmatrix} 12 \\ 6 \end{pmatrix} (2^{6}) (2+\sqrt{3})^{3} + \begin{pmatrix} 12 \\ 8 \end{pmatrix} (2^{4}) (2+\sqrt{3})^{4} \\ \quad + \begin{pmatrix} 12 \\ 10 \end{pmatrix} (2^{2}) (2+\sqrt{3})^{5} + \begin{pmatrix} 12 \\ 12 \end{pmatrix} (2+\sqrt{3})^{6} \right] $$ $$= \dfrac{1}{8388608} \left[ 4096 + (66)(1024)(2+\sqrt{3}) +(495)(256)(7+4\sqrt{3}) \\ \quad +(924)(64)(26+15\sqrt{3}) +(495)(16)(97+56\sqrt{3}) \\ \quad +(66)(4)(362+209\sqrt{3}) + (1351+780\sqrt{3}) \right] $$ $$= \dfrac {3428999+1960980\sqrt{3}}{8388608}$$

Answer 4

Nota: Una fórmula general que es aplicable \begin{align} \sin^{4n}\left(\frac{\pi}{4n}\right) + \cos^{4n}\left( \frac{\pi}{4n}\right) = \frac{1}{4^{2n-1}} \left[ \sum_{i=0}^{n-1} \binom{4n}{2r} \cos\left(1 - \frac{r}{n} \right) \pi \, + \frac{1}{2} \binom{4n}{2n} \right]. \end{align} Cuando $n=6$ esto se reduce a \begin{align} \sin^{24}\left(\frac{\pi}{24}\right) + \cos^{24}\left( \frac{\pi}{24}\right) = \frac{1}{4^{11}} \a la izquierda[ \sum_{i=0}^{5} \binom{24}{2r} \cos\left(1 - \frac{r}{6} \right) \pi \, + \frac{1}{2} \binom{24}{12} \right]. \end{align} El resto de los detalles se han dado a Miqueas de la solución.

Answer 5

Considerando que la respuesta es aparentemente $$ \frac{7 \left(489857+280140 \sqrt{3}\right)}{8388608}, $$ Dudo que haya una manera fácil.

Usted sabe que $\sin{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{2}$, $\cos{\frac{\pi}{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, por lo que el uso de la mitad de ángulo fórmulas $$ 2\sin^2{\frac{x}{2}} = 1-\cos{x},\\ 2\cos^2{\frac{x}{2}} = 1+\cos{x} $$ recibirá us $\sin{\frac{\pi}{24}}$ y $\cos{\frac{\pi}{24}}$, cuando se aplica dos veces.

En particular, $$ 4\sin^4{\frac{x}{4}} = \left(1-\cos{\frac{x}{2}}\right)^2 = 1+\cos^2{\frac{x}{2}}-2\cos{\frac{x}{2}} \\ 4\cos^4{\frac{x}{4}} = \left(1+\cos{\frac{x}{2}}\right)^2 = 1+\cos^2{\frac{x}{2}}+2\cos{\frac{x}{2}} $$ (En este punto podemos ver tenemos la agradable identidad $$4(\sin^4{\theta}+\cos^4{\theta}) = 2(1+\cos^2{2\theta}) = 3+\cos{4\theta},$$ aunque, desgraciadamente, esto no es de mucha ayuda para nosotros.)

Por lo tanto tenemos que levantar todo el poder $6$, luego se divide por $4^6=2^{12}$. $A=\cos{(x/2)}$, entonces tenemos $$ 4^6 ( \sin^{24}{\frac{x}{4}} + \cos^{24}{\frac{x}{4}} ) = (1-a)^{12}+(1+a)^{12} $$ En este punto podemos romper el teorema del binomio, y el aviso de que un buen montón cancela: todos los términos raros, de hecho. Entonces $$ \sin^{24}{\frac{x}{4}} + \cos^{24}{\frac{x}{4}} = \frac{1}{2^5} \left( 1 + a^6 + \binom{12}{2}(a^2 + a^{10}) + \binom{12}{4}(a^4+a^8) + \binom{12}{6}a^6 \right) = \frac{1}{2^{11}}(1+a^{12}+66(a^2+a^{10})+495(a^4+a^8)+924a^6) $$ Ahora, la buena noticia es que no necesitamos saber lo que $a$ es, $a^2$. De hecho, la fórmula anterior da $$ \cos^2{\frac{\pi}{12}} = \frac{1}{2}\left(1+\cos{\frac{\pi}{6}}\right) = \frac{2+\sqrt{3}}{4}. $$ Por lo tanto, usted sólo tiene que encontrar $a^n$ incluso $n$ a $12$.